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§ 2B. Geschichtlicher Überblick. 
Die Gleichungen (11) enthalten die Sätze 
Satz 3. Die Krümmungslinien einer Minimal 
fläche, sowie ihre sphärischen Bilder bilden ein 
isometrisches System. 
Satz 4. Die sphärische Abbildung einer Minimal 
fläche ist dem Urbild konform (vgl. §§ 4 und 8). 
Da man nun auf der Kugel die allgemeinsten Isothermen 
systeme kennt [§ 7, (27)], d. h. a, h, c als Funktionen von 
u, v, so daß die Kurven u = konst., v = konst. ein Isothermen 
system bilden, so erhält man alle Minimalflächen durch 
Quadraturen aus (10). 
Es wäre nun nicht schwer, auf diesem Wege wirklich 
die endlichen Gleichungen aller Miniraalflächen zu bestimmen 
(vgl. Aufg. 4). Wir ziehen es vor, einen einfacheren und der 
geschichtlichen Entwicklung entsprechenderen Weg zu gehen. 
2. Minimalflächen. 
§ 23. Geschichtlicher Überblick. 
Die Minimalflächen wurden zuerst von Lagrange in 
die Mathematik eingeführt. Er behandelte die Aufgabe, 
durch eine geschlossene Kurve G im Raume eine Fläche so 
zu legen, daß der von C eingeschlossene Flächenraum S ein 
Minimum wird. Die gesuchte Fläche heißt daher eine 
Minimalfläche. Ist die Flächengleichung in der Form 
z = f{x,y) gegeben, so ist der Flächeninhalt S bestimmt durch 
+y> 2 + q 2 dx dy, 
wo das Integral über die Fläche innerhalb von C zu führen 
ist. Als notwendige Bedingung dafür, daß S ein Minimum 
wird, erhält man mit Hilfe der Variationsrechnung 
(1) (l + g 2 ) r — 2pqs-\-{l +i? 2 ) ¿ = 0, 
, . dz d 2 Z . 
wobei p = - 7r -, r = -etc. ist. 
dx dx 2 
Für diese Differentialgleichung hat Meusnier (1776) 
eure sehr einfache geometrische Deutung gegeben. Die 
Gleichung (1) sagt nämlich nach Bd. I, § 22, (13) aus, daß 
für jeden Punkt einer Minimalfläche die Haupt 
krümmungsradien R t und R. 2 durch die Relation