§ 25. Spezielle Minimalflächen. 133 
wo A eine komplexe Konstante ist, so erhält man 
sämtliche Minimal sch raubenflächen. 
Nach § 24, (11) erhält man nun als Gleichungen 
dieser Minimalschraubenflächen mit F{u) =—Au~ 2 
x — $iA\^-\-uj, 
(8) y = ^iAi{^ — v}j, 
8 = 94 2Algu, 
wobei noch 8 mit — 8 vertauscht ist. Für das Linienelement 
folgt nach § 24, (14) 
(9) i?s 2 = (l A^v) 2 AA 0 (uv)~ 2 dudv, 
wo A 0 die zu A konjugierte Konstante ist. Man sieht aus 
(9) , daß alle Miniraalschraubenflächen, für die ]/AA 0 den 
selben Wert besitzt, aufeinander abwickelbar sind. Es 
existiert also eine ganze Gattung von Flächen, die stetig 
verbogen werden können und dabei stets Schraubenflächen 
und Minimalflächen sind. Diese hat zuerst Scherk angegeben. 
Es sind dieselben, die wir schon in § 12, (25) erhalten haben. 
Um mm in (8) das Reelle vom Imaginären zu trennen, 
setzen wir 
iw a ia 
u = re * y A = ae y 
worauf folgt 
x = ar cos {cp + a) + ar~ 1 cos {cp — a), 
(10) i/=arsin(99-l-a) + ar —1 sin(9? — a), 
£= 2ncos a Igr — 2a cp sin a. 
Die Koordinaten x, y, 8 der Minimalschraubenflächen 
sind durch (10) als Funktionen der beiden reellen Para 
meter r und cp dargestellt, a und a sind reelle Konstanten. 
Für das Linienelement folgt in den neuen Parametern aus 
(9), da v = re~ trp , A 0 = ae~ ta ist, 
(11) ds 2 = a 2 (1 + r —:2 ) 2 {dr 2 + r 2 dcp 2 ). 
Die Form des Linienelements (11) zeigt in der Tat, 
daß die Flächen (10) auf Rotationsflächen abwickelbar sind; 
denn ersetzt man a 2 (1 + r~ 2 ) 2 dr 2 durch dr\, so ist r reine