138 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
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(1) 
R i R 2 R 2 
definiert, wo R eine Konstante bedeutet. Je nachdem R 
reell, unendlich oder rein imaginär ist (also von der Form ri), 
haben die entsprechenden Flächen in allen ihren Punkten 
konstantes positives Krümmungsmaß, oder das 
Krümmnn gsm aß Null oder konstantes negatives 
Krümmungsmaß. Diese drei Gattungen von Flächen 
sind namentlich auch wegen ihres Zusammenhanges mit der 
sog. nicht-euklidischen Geometrie (s. unten § 30) von be 
sonderem Interesse. 
Zunächst zeigen wir, daß jeder der drei Gattungen 
eine bestimmte Form des Linienelementes ent 
spricht. Zu diesem Zwecke wählen wir als Parameter 
kurven v = konst. die geodätischen Linien durch einen be 
liebigen Punkt der Fläche (Pol), als Parameterkurven u = konst. 
ihre Orthogonaltrajektorien (geodätische Parallelen). Das 
Linienelement jeder Fläche, bezogen auf diese Parameter 
kurven, lautet dann nach § 13, (5) 
(2) ds 2 = du 2 -\-Crdv 2 , 
wo außerdem nach § 13, (6) 
lim ]i(J = 0, lim = 1 
(3) 
ist. 
Für d as Krümmungsmaß li erhält man nach § 11, (13) 
R 2 i/q du 2 
(4) 
Aus dieser Gleichung nun folgt durch Integration 
— in 
l U 
Ìa = Ae R + Be R , 
wo A, JB zunächst noch willkürliche Funktionen von v allein 
sind: diese aber müssen wegen (3) den Gleichungen 
A + R = 0, A—J? = — 
R 
% 
genügen, aus denen folgt