140 II- Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
werden, wie eine ebene Figur in der Ebene, ohne daß die 
Längen und Winkel sich ändern. Bei einer Fläche von 
konstantem Krümmungsmaß kann man also mit demselben 
Recht von einer Geometrie auf der Fläche sprechen wie 
von einer Geometrie der Ebene oder der Kugel. In der 
Tat sind ja die beiden letzteren ebenfalls Flächen von kon 
stantem Krümmungsmaß. Wir kommen hierauf weiter unten 
in § 29 noch einmal zurück. 
§ 28. Die Pseudosphäre. 
Wir bestimmen nunmehr die einfachsten Flächen von 
konstantem Krümmungsmaß. Zunächst bemerken wir, daß 
nach § 27, (6) — (8) G reine Funktion von u ist: es folgt 
somit nach § 6, (14) der 
Satz 1. AlleFJächenvonkonstantemKrümmungs- 
maß sind auf Rotationsflächen abwickelbar. 
Es genügt daher, für die drei Fälle die einfachsten 
Rotationsflächen anzugeben, worauf die allgemeinsten 
Flächen aus diesen durch Biegung hervorgehen. 
1) Die einfachste Fläche von konstantem posi 
tivem Krümmungsmaß ist die Kugel. In der Tat er 
hält das Linienelement der Kugel mit dem Radius r die 
Form § 27, (6), wenn auf der Kugel u das Komplement 
der geographischen Breite, v die geographische Länge bedeutet. 
Da alle Flächen von konstantem positivem Krümmungsmaß 
auf die Kugel abwickelbar sind, so ist die Geometrie auf 
diesen Flächen identisch mit der Kugelgeometrie. 
2) Die einfachste Fläche von konstantem 
Krümmungsmaß Kuli ist die Ebene. Bedeuten u, v Polar 
koordinaten in der Ebene, so hat das Linienelement der 
Ebene in der Tat die Form § 27, (7). Die Geometrie 
auf allen Flächen von konstantem Krümmungsmaß Null ist 
identisch mit der ebenen (euklidischen) Geometrie. 
8) Es bleiben also nur noch die Flächen von kon 
stantem negativem Krümmungsmaß =—-- zu erledigen. 
Um die Rotationsflächen zu finden, sei F die Meridian 
kurve einer dieser in der AvAEbene. Ist in Fig. 29 M der 
Krümmungsmittelpunkt von F für den Punkt P, so ist nach 
§ 6, Satz 4, PM=q der eine Hauptkrümmungshalbmesser