146 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
Da jede der Ecken AB C als Pol betrachtet werden 
kann, so können hier noch ahc und a,ß,y entsprechend 
cyklisch vertauscht werden. 
Der Unterschied für die drei Gattungen von Flächen 
von konstantem Krümmungsmaß ist nun folgender: 
1) Für die Flächen von konstantem positivem 
Krümmungsmaß ist R in (10) reell. Da auf der Kugel 
die Großkreise geodätische Linien sind, so gelten die Formeln 
(10) auch für ein sphärisches Dreieck. In der Tat sind 
die Formeln (10) für R= 1 identisch mit den Grund 
formeln der sphärischen Trigonometrie. 
2) Für die Flächen von konstantem negativem 
Krümmungsmaß ist R rein imaginär = ri, wo r reell ist. 
Die Formeln (10) erhalten in diesem Falle reelle Gestalt 
durch Einführen der Hyperbelfunktionen, indem man setzt 
— SJi— (Sinus hyperbolicus), 
cos = 6 = Ch— (Cosinus hyperbolicus). 
3) Für die Flächen von konstantem Krümmungs 
maß Null (Ebene) gelten streng genommen die obigen Ent 
wicklungen nicht, da R = oo ist. Behandelt man indessen 
diesen Fall genau wie oben für sich, so erhält man Formeln, 
die aus (10) für R = oo hervorgehen. Die Formeln (10) 
gelten somit für alle drei Fälle. In der Tat erhält man aus 
(10) für lim R = oo die Formeln der ebenen Trigono 
metrie. 
Sätze über die Winkelsumme eines Dreiecks. 
Wie in der sphärischen Trigonometrie, so leitet man 
aus (10) leicht die Formel 
cos a = — cos ß cos y + sin ß sin y cos a