§ 29. Die Trigonometrie auf den Flächen etc. 147 
1) Für die Ebene und die Flächen von konstantem 
Krümmungsmaß Null, für die R = oo ist, erhält man 
cos (n — a) = cos (ß -f- y). 
Aus dieser Gleichung und den analogen, durch cyklische 
Vertauschung hieraus hervorgehenden Gleichungen folgt 
a + ß + y — ™ 
und daher der 
Satz 1. In der Ebene und auf den abwickelbaren 
Flächen ist die Winkelsumme in einem geodätischen 
Dreieck gleich zwei Hechten. 
2) Für die Kugel und für die Flächen von konstantem 
positivem Krümmungsmaß, für die R reell ist, erhält man, 
a 
da cos-^<l ist, aus (12) 
cos (n — a) > cos (ß + y) 
und hieraus, sowie aus den analogen Ungleichungen 
a + ß + y>ji. 
Satz 2. Auf der Kugel und auf den Flächen von 
konstantem positivem Krümmungsmaß ist die Winkel 
summe in einem geodätischen Dreieck größer als 
zwei Rechte. 
3) Für die Pseudosphäre und die Flächen von 
konstantem negativem Krümmungsmaß ist R rein 
imaginär = ri und daher cos A>1, wie sich aus der Reihen- 
n 
entwicklung ergibt. Man hat somit nach (12) 
cos ('n — a) < cos (ß + y) 
und die analogen Ungleichungen. Es folgt 
«+ß+y<n 
und der 
Satz 3. Auf der Pseudosphäre und auf den 
Flächen von konstantem negativem Krümmungsmaß 
ist die Winkelsumme in einem geodätischen Dreieck 
kleiner als zwei Rechte. 
Man vergleiche auch in Beziehung auf Satz 1—3 § 14 
Schluß. 
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