150 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
Welches von den drei Systemen nun im Raum tatsächlich 
gilt, muß die Erfahrung entscheiden. Man müßte möglichst 
große Dreiecke nehmen und die Winkelsumme dieser unter 
suchen. Dies erscheint indes unmöglich, da der unserer 
Erfahrung und Messung zu Gebot stehende Raum viel zu 
klein ist. Für den uns zugänglichen Teil des Raumes kann 
man sagen, daß bis jetzt das System von Euklid mit den 
Tatsachen in vollkommenem Einklang steht. Doch steht 
nichts im Wege, zur Berechnung eines gewöhnlichen Raum 
dreiecks die Formeln § 29, (10) zu nehmen, wobei P eine 
sehr große reelle oder rein imaginäre Konstante bedeutet. 
Anmerkung. Schwarzschild hat gezeigt, daß die 
Formeln § 29, (10) für den uns umgebenden Raum benutzt werden 
können, wenn entweder statt der Ebene eine Pseudosphäre (R—ir) 
genommen wird, wo r größer als 4 Millionen Erdbahnradien, oder 
eine Fläche von konstantem positivem Krümmungsmaß, für die R 
größer als 100 Millionen Erdbahnradien ist (vgl. Yalentiner, 
Handwörterbuch der Astronomie, IV, pag. 126). 
4. Regelflächen. 
§ 31. Das Linienelement. Allgemeine Eigenschaften. 
Erklärung. Eine Regelfläche entsteht durch 
eine stetige Folge von einfach unendlich vielen 
Geraden, diese heißen die Erzeugenden der Regel 
fläche. Je nachdem zwei konsekutive Erzeugende 
stets sich schneiden oder nicht, nennt man die Regel 
fläche abwickelbar (s. Bd. I, § 10, S. 39) oder wind 
schief (vgl. das einmantlige Hyperboloid). 
Zur analytischen Darstellung einer Regelfläche ziehe 
man auf dieser eine beliebige Kurve C (Direktrix), die 
sämtliche Erzeugende treffen möge (s. Figur 33). Ist P(x,y,z) 
ein Punkt der Regelfläche, dessen Erzeugende die Direktrix 
im Punkt Q [x ± , y t) z x ) trifft und sind x x , y i , z x gegebene 
Funktionen des Bogens v der Direktrix und ebenso die 
Richtungskosinus l, m, n von QP, so hat man, wenn noch 
QP=u gesetzt wird, als Gleichungen der allgemeinsten 
Regelfläche 
(1) x = x x J r lu, y = y 1 -\-mu, z = z x -\-mt; 
denn ändert sich hier u allein, so durchläuft der Punkt {x, y, z)