158 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
Welches ist nun die Bedingung dafür, daß die Flächen 
des Systems (1) ein dreifach orthogonales System bilden? 
Die drei durch den Punkt (u, v, w) gehenden Flächen 
schneiden sich in drei Raumkurven, die durch diesen Punkt 
hindurchgehen. Diese müssen nun offenbar aufeinander 
senkrecht stehen. Von den drei Raumkurven ist aber die 
erste definiert durch u = konst., v = konst., die zweite durch 
-y=konst., w=konst., die dritte durch w=konst., u = konst. und 
die Richtungskosinus der Tangenten dieser drei Kurven im 
Punkte (u, v, w) sind nach Bd. I, § 2, (5) proportional mit 
dx dy dg . . dx dy dg , dx dy dg 
rs—, VS -tt- bezw. mit ä-, Tr-? 3- bezw. mit -5-, ■=-. 
dw dw dw du du du dv dv dv 
Die Bedingung dafür, daß diese drei Tangenten aufeinander 
senkrecht stehen, ist also 
= 0 
(3) 
wo in den Summen immer nur das auf x bezügliche Glied 
angegeben ist. 
Satz. Die Gleichungen (3) sind die notwendigen 
und hinreichenden Bedingungen dafür, daß die Glei 
chungen (1) ein dreifach orthogonales Flächensystem 
darstellen. 
§ 34. Die Fundamentalgrößen eines dreifach ortho 
gonalen Flächensystems. Gleichungen von Lamé. 
Lamé hat für ein dreifach orthogonales System wichtige 
Gleichungen aufgestellt. Wir erhalten diese auf die ein 
fachste Art, wenn wir die sechs Fundamentalgrößen JE, 
F, 6r, D, D', JD" für die einzelnen Flächen des Systems 
berechnen. Die Gauß-Mainardischen Gleichungen geben 
dann sofort die Laméschen Gleichungen. 
Wir bezeichnen im folgenden alle auf die Flächen 
u = konst. bezüglichen Größen mit dem Index u und ent 
sprechend für v und w. Es wird sich zeigen, daß sämtliche 
Fundamentalgrößen sich durch folgende drei Größen und 
ihre Differentialquotienten ausdrücken lassen. 
(1)