164 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
Ist aber_D = 0, geht also die Ebene durch das Inversions 
zentrum, so entspricht sie sich selbst. Der Kugel 
x 2 + V 2 + £ 2 + AL# + By + Gz + D = 0 
entspricht die Kugel (bzw. Ebene, wenn D = 0) 
c 4 + c 2 {Au -f Bv + Cw) + B {u 2 + v 2 + w 2 ) = 0. 
Einer geraden Linie entspricht als Schnitt von zwei 
Ebenen ein Kreis als Schnitt der entsprechenden Kugeln, 
einem Kreis wieder ein Kreis. Nur einer Geraden (oder 
einem Kreis), die durch das Inversionszentrum geht, ent 
spricht wieder eine Gerade. 
Wir beweisen nunmehr den 
Satz 1. Die einzigen konformen Abbildungen 
des Raumes auf sich selbst sind die Inversion und 
die Ähnlichkeit. 
Dabei verstehen wir wie in § 8 unter konformer Ab 
bildung eine solche, durch welche ein unendlich kleines 
Dreieck PQB in ein ihm ähnliches übergeführt wird. Wir 
wenden zum Beweise dieses Satzes die Ergebnisse des letzten 
Paragraphen an und werden zugleich erkennen, daß durch (2) 
ein dreifach orthogonales System von Kugeln definiert ist. 
Sind nun wie oben u, v, w die Konstanten eines Raum 
punktes und x, y, z die des entsprechenden, so muß einem 
Linienelement, das durch {u, v, w) geht, ein Linienelement 
durch {x, y, z) entsprechen; diese Linienelemente aber müssen 
wegen der Konformität der Abbildung einander proportional 
sein. Es muß also sein 
(3) dx 2 + dy 2 + dz 2 = 2 {du 2 -f dv 2 + dw 2 ), 
wo X eine Funktion von u, v, w ist. Nun sind x, y, z als 
Funktionen von u, v, w so zu bestimmen, daß diese in die 
linke Seite von (3) eingeführt, die rechte Seite ergeben. Da 
nun die Koeffizienten von dudv, dv dw, dwdu gleich Null 
sind, d. h. 
' S ~idxdx ^-^dxdx T^dxdx 
/ < dudv ¿Lj dv dw ^j dwdu 
ist, so folgt nach § 33, (3), daß x, y, z als Funktionen von 
u, v, w betrachtet ein dreifach orthogonales Flächensystem 
bilden. Vergleicht man (3) mit § 34, (2), so hat man 
(4) H^H^H^X-K