§ 2. Flächennormale. Fundamentalgrößen etc. 
9 
§ 2. Flächennormale. Fundamentalgrößen zweiter 
Ordnung. Weitere Relationen. 
Die Gleichung der Tangentialebene läßt sich nach 
Bd. I, § 15, (19) und (20) in der Form 
(1) (X — x) a + (Y— y) h + {Z — s) c = 0 
schreiben. 
Die Gleichungen der Flächennormalen waren nach 
Bd. I, § 15, (23) 
(2) (X—x):{Y—y): {Z—8) = a:b:c. 
Um diese Gleichungen auf die zweite Flächenform zu 
übertragen, haben wir die Richtungskosinus a, h, c der 
Flächennormalen durch u und v auszudrücken. Zwischen 
ihnen besteht zunächst die Relation 
(3) a 2 + 6 2 + c 2 = 1. 
Da ferner die Flächennormale auf den Tangenten an 
die Parameterkurven senkrecht steht, ist nach Einleitung (8) 
a u T" & ßu T - c Yu — 0, 
a a v -\-b ß v T cy v =0. 
G) 
Aus (4) folgt nach Einleitung (15), wenn a einen 
Proportionalitätsfaktor bedeutet: 
(5) 
Xa — 
ßu ßv 
7u 7v 
Xt 
7n 7v 
CL u doj 
Xc = 
CL U CL V 
ßu ßv 
ßu ßv 
2 
+ 
7u 7v 
2 
+ 
cCji du | 
7u 7v 
du 
ßu ßv 1 
Durch Quadrieren und Addieren dieser Gleichungen 
folgt unter Berücksichtigung von (3) 
X 2 = 
Setzt man hier die Werte aus § 1, (17) ein, so folgt 
nach § 1, (10) und (18) 
A 2 
(6) X 2 = = sin 2 co, 2 = + sin CO. 
Multipliziert man anderseits die Gleichungen (5) be 
züglich mit a, h, c und addiert, so folgt mit Benutzung von (6)