172 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
Ziehen wir durch den Ursprung des Koordinatensystems 
die Parallelen zu den Systemstrahlen und schneiden die 
Parallelen mit der Kugel 
x 2 + y 2 + = 1, 
so entpricht jedem Strahl ein Punkt der Kugel, den wir das 
sphärische Bild des Strahles nennen. Die Koordinaten 
des sphärischen Bildes eines Strahles sind daher offenbar 
X, Z, X. 
Betrachten wir einen dem Strahl (1) unendlich be 
nachbarten Strahl mit den Gleichungen 
— x-\-dx-\ r t 1 {X. J r dX-), r] 1 =y-\-dy J rt i {Y-\-dY), 
t x =s + d3 + t x {Z+dZ), 
, 6x ^ 6x 
wo dx = -;—du-\--T—dv etc. und wegen X 2 A- 1 2 + Z 2 = 1 
öu dv ° 
(4) XdX + Yd Y+ ZdZ= 0 
ist, so sind von besonderer Wichtigkeit: 
1. Der kürzeste Abstand dp der beiden Strahlen, 
2. die Eichtungskosinus l, m, n dieses Abstandes, 
3. der Wert r der Abszisse t im Fußpunkt von 
dp auf dem Strahle (1). 
Diese Werte drücken sich aus durch die gegebenen 
Größen x, y, z, X, Y, Z und ihre Ableitungen nach u, v. 
Es treten dabei gewisse Verbindungen dieser Ableitungen 
auf, für die wir folgende Abkürzungen einführen: 
V 
¿Lj \6u 
dX' 
jP yrr 6X6X dX 
05 L-j du dv °’ ¿lj\6v 
&0> 
(5) 
LmJ CU CU 
V 
dXd x 
D', 
- V 
6X6 x 
J^j 6v 6 u 
Di, 
LmJ 6u 6v 
yS_xax = I) , 
LmJ 6v 6v 
Bezeichnet man mit ds 0 das Linienelement des 
sphärischen Bildes des Strahlensystems, so ist 
(6) ds 2 0 = XdX 2 = JE 0 du 2 + 2 F 0 du dv + G 0 dv 2 ; 
weiter ist 
(7) — XdXdx = D du 2 + (D' + B[) du dv + D" dv 2 .