174 II- Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
lX-\-mY-\-nZ= 0, 
ldX-\-mdY-\-ndZ= 0. 
Die Gleichungen (12) enthalten den bekannten Satz, 
daß der kürzeste Abstand dp auf den beiden Strahlen senk 
recht steht. Multipliziert man die Gleichungen (11) der 
Reihe nach mit X, Y, Z und addiert, so folgt nach (1), (4) und 
(12) t x —1=—XXdx, woraus sich ergibt, daß t x und t sich 
nur um eine imendlich kleine Größe der ersten Ordnung 
unterscheiden. Wir können also setzen: t==t 1 ~r. Multi 
pliziert man nunmehr die Gleichungen (11) bezüglich mit 
dX, dY, dZ und addiert, so folgt nach (1), (4) und (12) 
(13) 
YdXdx 
ZdX 2 
Endlich multipliziere man die Gleichungen (11) der 
Reihe nach mit l, m, n, worauf nach Addition kommt 
(14) dp = ldx-\-mdy-\- ndz; 
hierbei sind die Richtungskosinus l,m,n aus (12) und 
(15) P + m 2 + n 2 =l 
zu bestmimen und in (14) einzutragen. Zu diesem Zwecke 
berechnen wir zuerst die Determinante 
(16) 
X Y Z 
dX dY dZ 
l m n 
= H. 
Durch Quadrieren von (16) findet man leicht mit Benutzung 
der obigen Gleichungen 
(17) 11= i/dX 2 + dY 2 + dZ 2 = ds 0 . 
Die drei Gleichungen (12) und (16) sind in l,m,n linear 
und geben für die Richtungskosinus l,m,n die Werte 
(18) 
Hl = YdZ— ZdY, Hm = ZdX— X dZ, 
Hn = XdY — Y dX. 
Aus den Gleichungen (13), (14) und (18) ergeben sich 
die gesuchten Größen. Wir formen diese Gleichungen noch 
ein wenig um und zwar zunächst (18). Hierzu benutzen 
wir die Identitäten § 4, (9) und zwar für die Kugel X 2 + Y 2