176 II. Abschnitt. Spezielle Flächen, Strahlensysteme. 
§ 38. Anwendung auf Normalensysteme. 
Malus-Dupinscher Satz. 
Wir wenden die Formeln des § 37 zunächst auf das 
Normalensystem der Leitfläche an. Es ist dann, wie 
oben bemerkt, I)' = D{. Wir fragen zuerst: 
In welchen Richtungen schneiden sich zwei 
konsekutive Flächennormalen? 
In diesem Falle ist in § 37, (21) dp = 0. Beachtet man 
die Gleichungen § 4, (6), so folgt hieraus leicht 
Ddu + D'dv D'du~{-D"dv 
Edu-\-Fdv Fdu-\-Gdv 
Dies ist aber nach § 3, (10) die Differentialgleichung 
der Krümmungslinien der Leitfläche. Also nur in den 
Hauptkrümmungsrichtungen einer Fläche schneiden sich 
konsekutive Flächennormalen (vgl. Bd. I, § 19, S. 84). 
Wir untersuchen ferner die Bedeutung von r für 
ein Normalensystem, Aus § 37, (22) und § 4, (6) folgt 
1 
r 
= h — lc 
ds 2 
L ’ 
ds 2 
Nach Bd. I, § 22, (2) ist aber der Krümmungsradius des 
JL/ 
Normalschnitts längs ds. Bezeichnen wir diesen mit R, so 
folgt 
R\ R-2 
R x + R 2 — R 
Aus dieser Gleichung berechnet sich einfach die Abszisse r 
des kürzesten Abstands für zwei konsekutive Flächennormalen 
längs einer Richtung, der der Krümmungsradius R des zu 
gehörigen Normalschnitts entspricht, R t und R 2 bedeuten 
dabei die Hauptkrümmungshalbmesser. Für R = R x folgt 
r = R 1 , ebenso für R = R 2 r = R 2 , wie zu erwarten war. 
Für R = oo folgt r = 0, d. h. zieht man in den Endpunkten 
eines Linienelements einer Asymptotenkurve die Flächen 
normalen, so ist dieses Linienelement selbst der kürzeste 
Abstand der beiden Normalen. 
Wir fragen weiter: Welches ist die Bedingung dafür, 
daß ein gegebenes Strahlensystem ein Normalen 
system bildet?