16 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterfonn. 
§ 21 behandelten besonderen Kurvensystemen auf der 
Fläche, und es sollen deren Differentialgleichungen, sowie 
die in Bd. I, § 22 gefundenen Ausdrücke für die beiden 
Hauptkrüramungsradien auf die Parameter u, v über 
tragen werden. 
Wir beginnen mit den konjugierten Richtungen. 
Ist P [x, y, z) ein Punkt der Fläche und sind P 1 (x-\-dx 1 , 
y + dyi > % + dz x ) und P 2 {pc -f- dx 2 , y -j- dy 2 , z + dz 2 ) zwei 
infinitesimal benachbarte Punkte, so ist nach ßd. I, § 21, (4) 
die Bedingung dafür, daß PP X und PP 2 konjugierte Rich 
tungen sind 
(1) da x dx 2 + db x dy 2 + dc x dz 2 = 0, 
wo da x , db x , dc x die zu dem Punkt P x gehörigen Inkremente 
der Richtungskosmus a, h, c sind. In (1) sind nun die Para 
meter u, v einzuführen. Sind du x , dv x und du 2 , dv 2 die 
Inkremente der Parameter, welche den Punkten P x und P> 
zukommen, so ist 
(2) dai = ~rT~ du. + ~ dv,, dx 9 
J du öv 
dx 
du 
du.. 
dx 
dv 
dv 2 , 
usw. Trägt man diese Werte in (1) ein, so erhält man 
unter Berücksichtigung der Definitionsgleichungen für P, D',I)" 
§ 2, (13), an Stelle von (1) 
(3) D du x du 2 + D' (du x dv 2 -|- dv x du 2 ) + D"dv x dv 2 = 0. 
Diese Gleichung enthält die notwendige und hin 
reichende Bedingung dafür, daß die beiden Richtungen 
du x :dv x und du 2 :dv 2 konjugiert sind. Ist ein System 
von Kurven gegeben, also du x : dv x als Funktion von u, v 
bekannt, so stellt (3) die Differentialgleichung des 
konjugierten Systems dar. Aus (3) läßt sich leicht die 
Bedingung dafür herleiten, daß die Parameterkurven 
konjugiert sind. Es müssen nämlich in diesem Falle die 
W erte 
du x =-du, dv x = 0 und du 2 = 0, dv 2 = dv 
der Gleichung (3) genügen. Hierzu ist aber notwendig und 
hinreichend, daß 
(4) 
P'-O