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§ 4. Sphärische Abbildung. Ebenenkoordinaten. 
al 80 wegen E„ = £ et °' 
(10) J), = — Di=-F 0 , I)%= — G„. 
Aus § 3, (14) und (15) folgt dann, wie vorauszusehen war 
K — 17 K- 2. 
Aus den obigen Formeln ergeben sich noch 
einige Sätze, die teilweise schon in Bd. I aufgestellt 
waren. 
1. Ist D'= 0, so sind nach § 3, Satz 1 die Parameter 
kurven auf der Fläche konjugiert. Nach § 2, (13) ist dann 
— den Eichtungskosinus der einen kon- 
6a 6b 6c 
jugierten Richtung {dv = 0) , -, -7—, • - denen des sphä 
rischen Bildes der anderen (du= 0) proportional sind, so 
folgt (vgl. Bd. I, § 21, Satz 1, Zusatz 1). 
D as sphärische Bild einer von zwei konjugierten 
Richtungen steht auf der anderen senkrecht. 
Da eine Asymptotenrichtung sich selbst konjugiert ist, 
so folgt weiter 
Das sphärische Bild einer Asymptotenrichtung 
ist senkrecht zu dieser. 
Da eine Hauptkrümmungsrichtung auf ihrer konjugierten 
senkrecht steht, folgt 
D as sphärische Bild einer Hauptkrümmungs 
richtung ist parallel zu dieser. 
Man sieht leicht, daß man durch diese Sätze auch die 
entsprechenden Richtungen definieren könnte (vgl. Bd. I, 
§ 28, Aufg. 15 und 16). 
2. Aus dem letzten der obigen Sätze ergibt sich, daß die 
sphärischen Bilder der Krümmungslinien ein Orthogonal 
system bilden. Fragen wir umgekehrt nach der Bedingung 
dafür, daß ein Orthogonalsystem auf der Fläche (F= 0) in