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§ 1, 
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Punkt- 
§ 4. Sphärische Abbildung. Ebenenkoordinaten. 
X£ + Yrj + ZC — T= 0. 
25 
(11) 
Die Koeffizienten X, Y, Z, T heißen dann die Ebenen 
koordinaten der Fläche. Wir setzen nun voraus, daß 
X, Y, Z, T als Funktionen zweier Parameter u, v so ge 
geben seien, daß sie der Gleichung (2) genügen: d. h. man 
kennt die sphärische Abbildung der Fläche und außerdem 
T als Funktion von (u, v). Gibt man u und v alle mög 
lichen Werte, so erhält man aus (11) ein zweifach unend 
liches System von Ebenen, welche die Fläche einhüllen. Um 
die Fläche in der gewöhnlichen Weise untersuchen zu können, 
haben wir die Punktkoordinaten x, y, z in u und v aus 
zudrücken. 
Da der Berührpunkt [x, y, z) stets auf der Tangential 
ebene (11) liegt, so besteht die identische Gleichung 
(12) Xr + Yy + Zz — T= 0. 
Differenziert man diese partiell nach u und v, so ist 
nach § 2, (9) (a = X etc.) 
X x x + d i y Y 
X 2 x + Y 2 y -f- Z 2 z 
(13) 
T 1= =0, 
?2 = 0, 
wo X 2 
ex 
- , X, =^r— usw. ist. Durch Auflösen von (12) 
vU " öv v J 
und (13) nach x, y, z erhält man x, y, z als Punktionen 
von u, v und damit die Flächengleichung in der üblichen 
Form, Man kann nun noch die Fundamentalgrößen F, F, G; 
I), D', T>" bilden, um die Fläche in der gewöhnlichen Weise 
zu behandeln. Am besten geschieht dies folgendermaßen: 
Wir bilden die Gleichungen § 2, (20) für die Bildkugel und 
erhalten mit Berücksichtigung von (1) und (10) 
A n Po -^1 — q 0 X 2 +_E 0 X=0, 
(14) X 12 2^0 Xj. X 2 + F 0 X — 0, 
x 22 Po X ± q" X 2 -f- Gr 0 X— 0, 
sowie die entsprechenden Gleichungen für Y und Z in den 
selben Koeffizienten. Dabei sind p 0 , q 0 usw. die für die 
Einheitskugel gebildeten Größen § 1, (22) und daher wie 
F 0 , F 0 , 6r 0 bekannte Funktionen von (u, v). Differenziert 
man (13) weiter nach u und v, so folgt mit Benutzung von 
§ 2, (13)