26 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Xii% + Y n y + X lx z — T iX = D, 
(15) X X2 x + Y X2 y -f- Z X2 z— T i2 — D', 
X 22 x + Y 2 2 y + X 22 z — T 22 = D". 
Multipliziert man die erste Gleichung in (14) mit #, 
die analogen mit y und z und addiert, so folgt nach (12), 
(13) und (15) 
— Po — Qo + E 0 T= — 1), 
(16) T X2 —pi T x - 9o T 2 + F 0 T= - D', 
T 2 , - p'o'T, - q"T 2 + G 0 T=- I)", 
wobei die zwei letzten Gleichungen ähnlich erhalten werden, 
wie die erste. Damit sind die Fundamentalgrößen J), D', D" 
explizite als Funktionen von u und v dargestellt. Um auch 
E, F, G auszudrücken, setze man in (6) für h und Je die 
Werte aus § 3, (14) und (15) ein; löst man nun nach 
E, F, G auf, so folgt 
AlE=E 0 D' 2 — 2 F 0 DD'+G 0 E 2 , 
(17) &lF= E 0 I)'I)" — F 0 (DD"+D /2 )+ G 0 DD', 
A 2 0 G = E 0 D" 2 — 2 F 0 D'D" + G 0 D' 2 . 
Hieraus bestimmen sich, wenn man noch für D, D', E" 
die Werte aus (16) einträgt, auch E, F, G als Funktionen 
von u und v. 
Anwendung. Auf der Einheitskugel ist ein Or 
thogonalsystem von Kurven gegeben; gesucht ist 
die Fläche, für die jenes Orthogonalsystem die 
sphärischen Bilder der Krümmungslinien darstellt. 
Der Gang der Lösung ist folgender: Wir setzen vor 
aus, daß X, Y, Z als Funktionen von u und v gegeben 
seien, derart, daß X 2 -f- Y 2 -j- Z 2 = 1 und F 0 = 0 ist. Sollen 
die Parameterkurven auf der Fläche Krümmungslinien sein, 
so muß F=0 und I)' — 0 sein. Die mittlere Gleichung (16) 
ist dann eine partielle Differentialgleichung für T. Ist diese 
integriert, so ist T gefunden. Aus (12) und (13) erhält man 
durch Auflösen nach x, y, z die Flächengleichung in Para 
meterform. 
Anmerkung. Für eine Fläche mit zwei Systemen 
von ebenen Krümmungslinien besteht jenes Orthogonal 
system aus zwei Scharen sich rechtwinklig schneidender