§ 5. Transformation der Parameter. 
29 
Die Fundamentalgrößen zweiter Ordnung drücken sich 
also ganz in derselben Weise aus, wie die erster Ordnung. 
•Aus (10) folgt 
(11) D X D" — Df = {DD" — D' 2 ) d 2 . 
Es liegt nun nahe zu untersuchen, welche Funktionen 
der sechs Fundamentalgrößen, bezw. der Parameter u, v 
bei einer Transformation der Parameter invariant 
bleiben, d. h. in den neuen Parametern dieselbe Form und 
denselben Wert haben, wie in den alten. Solche Invarianten 
sind z. B. nach (9) die Richtungskosinus a, b, c. Es läßt 
sich weiter von vornherein übersehen, daß z. B. das Krüm 
mungsmaß Je und die mittlere Krümmung Ji, ferner die 
Differentialformen ds 2 , L, M, N invariant sein werden; denn 
die durch sie definierten geometrischen Größen (vgl. Bd. I, 
§ 27) drücken sich ja durch die Fundamentalgrößen und die 
Differentiale der Parameter stets in derselben Weise aus, wie 
auch die Parameterkurven gewählt sind. Diese Invarianz 
wird durch die Rechnung bestätigt. Für das Krümmungs 
maß Je folgt sie unmittelbar aus (8), (11) und § 3, (14); für 
die mittlere Krümmung durch eine einfache Rechnung 
aus (6) und (10). Für das Linienelement ds 1 hat man 
ds\ = Ei dui -\-2 F x du x dv x + G x dv\. 
Durch Einträgen der Werte aus (6) ergibt sich: 
ds\ = E (P x du x -f- P 2 dv x ) 2 
+ 2 F{P X du x + P 2 dv x ) [Q x du x + Q 2 dv x ) 
oder nach (4) 
+ D [Q x du x -j- Q.> dv x ) 2 , 
(12) ds 2 x — E du 2 + 2 Fdu dv + G dv 2 = ds 2 . 
Damit ist wegen der Übereinstimmung von (6) und (10) 
auch die Invarianz von L (vgl. § 2, 14a) bewiesen. Auch 
für M hat der Beweis keine Schwierigkeit. Etwas um 
ständlicher wird die Rechnung für N, da hier noch die 
zweiten Differentiale von u und v auftreten; wir überlassen 
die Ausführung dem Leser. 
Als Beispiel einer Parametertransformation behandeln 
wir die Aufgabe: Die Gleichungen des einmantligen 
Rotationshyperboloids auf die Asymptotenlinien als 
Parameterkurven zu übertragen.