30 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Die Gleichungen desselben sind 
(18) x~u cosv, y = usmv, s = 
- / M 2. 
wo die Kurven u = honst, die Parallelkreise, die Kurven 
v = konst. die Meridiane sind. 
Die sechs Fundamentalgrößen erhalten folgende Werte 
7)2 i/2 
(14) E= 1 + r^ —, F=0, G = u>; 
B 
d 2 (u 2 — a 2 ) ’ 
— a 2 b 
(15) 
(w 2 — a 2 ) [a 2 (u 2 — a 2 ) + & 2 m 2 ] 
u 2 h 
1)' = 0, 
D' 
[ia 2 (m 2 
& 2 w 2 l 1/2 
Also ist die Differentialgleichung der Asymptotenlinien 
(16) 7~¥~~v\ — u 2 dv 2 = 0. 
v (u 2 — a 2 ) 
Dieselbe ist durch Quadratur integrierbar, die beiden Scharen 
von Asymptotenlinien haben die Gleichungen 
(17) 
, i 
v + arc sin 
v — arc sin =c 9 
u 
Die Asymptotenlinien werden also als Parameterkurven ein 
geführt durch die Substitution 
(18) 2 Ui =v4- arcsin-; 2v x —v— arcsin — , 
v ' u u 
oder nach u und v aufgelöst 
a 
(19) v = u x -\-v x , u 
sin (% — v x ) 
Die rechten Seiten dieser Gleichungen sind die Funk 
tionen P und Q in (3). Es ist also 
p — a cos (% — v x ) p a cos (% — v^) 
^20) 1 ~~ sin2 ( M i — v i) ’ 2 sin2 (% — v i) ’ 
= f ? = 1 i 
Also sind die sechs neuen Fundamentalgrößen nach (6) 
und (10)