32 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Hieraus ergeben sich nach § 1, (8) die Fundamental 
größen erster Ordnung folgendermaßen 
E=l+f'{u) 2 , F= 0, G = u 2 . 
Das Linienelement ds erhält also die Form 
(3) 
ds 2 = {l + /*'(m) 2 } du 2 + u 2 dv 2 . 
(4) 
Da F = 0 ist, sind nach § 1, Satz 1 die Parameter 
kurven aufeinander senkrecht. Nach § 1, (9) ist ferner 
A 2 =- u- + u 2 f' {ti) 2 . 
(5) 
Für die Richtungskosinus a, 1), c der Flächen 
normalen ergibt sich nach § 2, (11) 
(6) A a~ — u cos vf'{u), A&= — u sin vf'{u), A c = u. 
Die Fundamentalgrößen zweiter Ordnung sind 
nach § 2, (13) 
Aus den Gleichungen (6) folgt leicht der bekannte 
Satz 1. Auf jeder Rotationsfläche fällt die 
Flächennormale mit der Normalen der Meridian 
kurve zusammen. 
Da außer I auch D'=0 ist, so haben wir nach § 3, 
Satz 3 
Satz 2. Auf jeder Rotationsfläche sind die 
Meridiane und Parallelkreise Krümmungslinien. 
Die Differentialgleichung der Asymptotenlinien lautet 
nach § 3, (6) für unsern Fall 
f"(u) du 2 + u f\u) dv 2 = 0. 
(8) 
Sie ist durch eine Quadratur integrierbar in der Form 
Es folgt 
Satz 3. Auf jeder Rotationsfläche ergibt sich 
die Gleichung der Asymptotenlinien durch eine 
bloße Quadratur. 
Zur Bestimmung der Hauptkrümmungsradien B 1 
und R 2 können wir hier die Gleichungen § 3, (19) benützen 
und erhalten (vgl. Bd. I, § 28, Aufg. 9)