§ 6. Anwendung auf Rotations- und Schraubenflächen. 33 
(10) 
f"{u) 
f'{u) 
Bl {l + f'iufY 12 ’ B 2 u {i + f{uY) lh 
Dabei ist B L der Hauptkrümmungsradius für die Haupt- 
krümmungsrichtung dv = 0 (Meridian); aus (10) folgt nun 
leicht der a. a. O. erwähnte Satz: 
Satz 4. Auf jeder Rotationsfläche ist der eine 
Hauptkrümmungsradius gleich dem Krümmungs 
radius der Meridiankurve, der andere gleich dem 
Stück der Flächennormale bis zur Rotationsachse. 
Daraus ergibt sich 
Zusatz. Liegt das Krümmungszentrum eines 
Punktes der Meridiankurve auf der Rotationsachse, 
so sind die Punkte des zugehörigen Parallelkreises 
Kreispunkte. 
Wir suchen noch die Gleichung der parabolischen 
Kurve auf der Fläche; dieselbe ist nach § 3, (16) in unse 
rem Falle 
u • f'(u) • f '{u) = 0. 
Diese Gleichung kann auf dreierlei Weise erfüllt sein, 
nämlich 1) durch u = 0; 2) durch f'(u) = 0; 3) durch f"(u) = 0. 
Ln ersten Fall schneidet die Kurve die Rotationsachse, 
hierdurch entsteht ein Knotenpunkt [K in Fig. 19), der der 
parabolischen Kurve angehört. Im zweiten Falle ist die 
Meridiantangente senkrecht zur Rotationsachse; der zuge 
hörige Parallelkreis ist ein Zweig der parabolischen Kurve. 
Im dritten Palle hat die Meridiankurve einen Wendepunkt; 
die Parallelkreise aller Wendepunkte (z. B. IFIP in Fig, 19) 
der Meridiankurve sind also ebenfalls Zweige der para 
bolischen Kurve. 
Von besonderer Wichtigkeit sind die Formeln (10) für 
die Aufgaben, Rotationsflächen zu bestimmen, deren Haupt 
krümmungsradien durch eine Relation von der Form 
F{B v B 2 ) = 0 verbunden sind. Setzt man hier für B 1 und 
Ii 2 aus (10) die Werte ein, so erhält man durch Integration 
f{u) und damit nach (1) die Rotationsfläche. Für die 
Flächentheorie besonders wichtig sind folgende Fälle (vgl. 
Bd. I, § 28, Aufg. 27 u. 28): 
1) 4 + 4 = 0; 
d. h. eine Rotationsfläche von kon- 
E x 1 B 2 
stanter mittlerer Krümmung gleich Null (sogenamite 
Kommereil, Theorie der Raumkurven. II. 3