§ 6. Anwendung auf Eotations- und Schraubenflächen. 35 
der Gleichung (1 f r du = du t eingeführt hätte.) Um 
gekehrt gilt der 
Satz 5. Zu jedem Linienelement von der Form (14) 
läßt sich eine Rotationsfläche finden, der dieses 
Linienelement zukommt. 
Denn dann ist r{u) bekannt; aus (12) ergibt sich f{u) 
und aus (13) die Rotationsfläche. 
Als zweites Beispiel behandeln wir die Schrauben 
flächen. Eine solche wird erzeugt, indem eine beliebige 
Kurve (im allgemeinen eine doppelt gekrümmte) gleichzeitig 
um eine Achse gedreht und parallel der Achse verschoben 
wird, und zwar so, daß das Verhältnis der Drehgeschwin 
digkeit zur Geschwindigkeit der Verschiebung konstant ist. 
Jeder Punkt der erzeugenden Kurve beschreibt bei dieser 
Bewegung eine Schraubenlinie, und zwar haben alle diese 
Schraubenlinien gleiche Achse und Ganghöhe. Schneidet man 
die Schraubenfläche mit einer durch die Schraubenachse ge 
legten Ebene, so erhält man eine Schnittkurve, die wir 
Meridiankurve nennen. Es leuchtet ein, daß sämtliche 
Meridiankurven kongruent sind. Erteilt man einer solchen 
Meridiankurve dieselbe Schraubenbewegung, durch welche 
die Fläche erzeugt wurde, so erzeugt die ebene Meridian 
kurve dieselbe Fläche. Die allgemeinste Schraubenfläche 
kann daher durch eine ebene Kurve (Meridiankurve) er 
zeugt werden, welche eine Schraubenbewegung um eine in 
ihrer Ebene liegende Gerade (Schraubenachse) ausführt. 
Um die Gleichung einer solchen Fläche aufzustellen, 
nehmen wir die X-Achse als Schraubenachse; ferner sei u 
der Abstand eines Punktes der Meridiankurve von der 
Z-Achse; dann ist die Gleichung der Meridiankurve: z = cp{u). 
Sie liege zunächst in der XX-Ebene; dann wird sie bei 
Ausführung der Schraubenbewegung um einen Winkel v 
um die X-Achse gedreht, und gleichzeitig um eine mit v 
proportionale Größe a • v parallel der X-Achse verschoben. 
Die Koordinaten eines Punktes x, y, z der neuen Lage der 
Meridiankurve sind dann offenbar (vgl. Bd. I, § 1) 
(15) x = ucosv, y = usmv, z = (p{u)-\- av. 
Diese Gleichungen stellen die Gleichungen der Schrauben 
fläche selbst in den Parametern u und v dar. Die Kurven 
w = konst. sind Schraubenlinien, die Kurven v = konst. die 
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