§ 8. Konforme Abbildung. 
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Die Parallelen zu den Koordinatenachsen bilden also 
ein isometrisches System. Das allgemeinste isometrische 
System von Kurven der XX-Ebene erhält man nach (23) 
durch die Substitution 
x + iy=0{x x + iyi), x iy = 0 X [x x — iy x ), 
wo wieder 0 und 0 X konjugierte Funktionen sind. 
Zweites Beispiel. Die Kugel vom Radius = 1. 
Nach (20) haben wir in den Gleichungen (16) und (17) 
a = u-\-iv, ß = u — iv zu setzen, und erhalten 
2 u 2v u 2 -\-v 2 — 1 
X== u * + v i+\> V = U 2 + V 2 +T 5 0== M 2 + V 2 + 1 ’ 
4(iÜM 2 + dv 2 ) 
= (w 2 + v 2 + l) 2 " 
Man zeigt leicht, daß die Kurven u = konst. und v = konst. 
Kreise sind, die durch den Punkt (x = 0, y= 0, 8— 1) gehen, 
und deren Ebenen parallel der X-Achse, bezw. X-Achse 
sind. Das allgemeinste System isometrischer Linien [u x , v x ) 
erhält man dann wieder durch die Gleichungen 
(27) u -j- :=r 0 (^i d - ^^i)i ^ === (^i • 
§ 8. Konforme Abbildung. 
In engem Zusammenhang mit dem System der Minimal 
linien und den isometrischen Systemen steht das Problem 
der konformen Abbildung einer Fläche auf eine 
andere. Man versteht darunter eine punktweise Beziehung 
zweier Flächen zueinander derart, daß einem unendlich kleinen 
Dreieck der einen Fläche ein unendlich kleines Dreieck auf 
der anderen entspricht, das dem ersten ähnlich ist. Man 
nennt aus diesem Grunde eine derartige Abbildung eine 
winkeltreue (weil zwei Kurven der einen Fläche sich unter 
demselben Winkel schneiden, wie die entsprechenden Kurven 
der anderen) oder konforme, im Gegensatz zu der, später 
zu behandelnden, flächentreuen Abbildung, bei der einem 
unendlich kleinen Dreieck der einen Fläche ein solches auf 
der anderen mit gleichem Inhalt entspricht.