44 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Das Problem der Abbildung von Flächen auf Flächen 
ist aus einer praktischen Aufgabe entsprungen, nämlich von 
der Erdkugel eine geographische Karte zu entwerfen. Eine 
solche Karte ist eine ebene Figur, welche die Erdoberfläche 
oder einen Teil derselben darstellt. Eine solche Darstellung 
hätte gar keine Schwierigkeit, wenn die Erdoberfläche in 
die Ebene abwickelbar wäre. Da indes die Gestalt der 
Erde einer Kugel ziemlich nahe kommt, ist es (der strenge 
Beweis hierfür wird sich später ergeben) unmöglich, einen 
Teil ihrer Oberfläche in einer Ebene darzustellen, ohne die 
gegenseitige Lage der einzelnen Orte, sowie ihre Abstände 
voneinander zu ändern. Eine geographische Karte gibt daher 
stets ein verzerrtes Bild der Erdoberfläche. Man hat sich 
aus diesem Grunde damit begnügen müssen, Karten her 
zustellen, die wenigstens in kleinen Partien ein ähnliches 
Bild des betreffenden Kugelteils geben, so daß also die 
Winkel, die z. B. zwei sich kreuzende Straßen, oder Flüsse 
mit ihren Nebenflüssen bilden, -in ihrer wahren Größe auf 
der Karte zur Darstellung kommen (konforme Abbildung). 
Eine solche Abbildung ist dann aber nicht zugleich flächen 
treu. Die älteste bekannte konforme Abbildung einer Kugel 
auf die Ebene ist die von Ptolemäus herrührende stereo 
graphische Projektion. Weiterhin haben sich mit dem Pro 
blem der Kartographie in hervorragender Weise Lambert, 
Euler und Lagrange beschäftigt. 
Die Frage der Kartographie wurde nun von der König 
lichen Sozietät der Wissenschaften in Kopenhagen im Jahre 
1822 zu folgender Preisfrage verallgemeinert: „Die Teile 
einer gegebenen Fläche auf einer anderen Fläche so abzu 
bilden, daß die Abbildung dem Abgebildeten in den klein 
sten Teilen ähnlich wird“. Gauß hat diese Preisfrage in 
voller Allgemeinheit gelöst (Gauß’ Werke IY, S. 189—216), 
und zwar auf ähnlichem Wege, wie Lagrange für spe 
zielle Fälle. 
Ehe wir den analytischen Weg der Lösung (nach 
Gauß) betreten, zeigen wir, wie man auf einfache Weise 
das Problem der konformen Abbildung durch geometrische 
Betrachtungen erledigen kann. Dem Punkt P der Fläche S 
möge der Punkt J\ der Fläche S x entsprechen. Jedem 
Linienelement a durch P entspricht ein Linienelement % 
durch P v Durchläuft a das Strahlenbüschel durch P, so