46 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Analytisch ergibt sich die Zuordnung der Minimal 
linien am einfachsten dadurch, daß wir auf S wie auf S x 
die Minimallinien zu Parameterkurven wählen. Die Linien 
elemente ds und ds x haben dann die Form 
(1) ds 2 = A 2 dadß, ds\ = l\da 1 dß x . 
Setzt man nun 
(2) a = F (%), ß = I\ {ßßj, 
oder auch 
(3) a = F (ß x ), ß = F 1 {a l ), 
so sind durch das System der Gleichungen (2) oder (3) die 
beiden Flächen konform aufeinander bezogen. Denn jedem 
Punkt (a x , ß x ) auf S x ist dann durch (2) oder (3) ein Punkt 
(a, ß) auf S zugeordnet, und den Minimallinien von S x 
[a x = konst.; ß x =konst.) entsprechen die Minimallinien von S 
(a = konst.; ß = konst.). Die Gleichungen (2) oder (3) ver 
mitteln daher eine konforme Abbildung, und zwar offenbar 
die allgemeinste. Da a x und ß x konjugiert imaginär sind, 
so müssen, falls die Abbildung reell sein soll, die will 
kürlichen Punktionen F und F x konjugiert sein. Eine 
reelle konforme Abbildung ist also definiert durch die 
Gleichungen (2) oder (3), wo F und F x konjugierte Funk 
tionen sind. 
Wir behandeln nun das Problem im Sinne von Gauß. 
Die Koordinaten x, y, z eines Punktes P (vgl. Fig. 21) 
der Fläche S seien Funktionen zweier Parameter u und v; 
ebenso seien die Koordinaten x x , y x , z x eines Punktes 1\ 
der Fläche S x Funktionen zweier Parameter u x und v x .