48 !• Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Aus (7) folgt nun weiter, daß den Richtungen der Minimal 
linien in P diejenigen in P ± entsprechen, denn ein Ver 
hältnis du\dv, das ds = 0 macht, macht wegen (7) auch 
ds x = 0. Umgekehrt sieht man, daß eine Abbildung, bei 
der den Minimalrichtungen in P diejenigen in P x entsprechen, 
notwendig eine konforme ist. Denn wenn sich aus ds = 0 
und ds x — 0 dieselben Werte von du’.dv ergeben, so müssen 
notwendig die Koeffizienten E,F, G den Koeffizienten E„F X ,G X 
proportional sein. 
Damit ist das notwendige und hinreichende Kriterium 
• dafür aufgestellt, ob eine gegebene Abbildung konform ist 
oder nicht; wie man nun wirklich eine solche findet, ist 
schon oben gezeigt worden: man führt auf beiden Flächen 
die Minimallinien als Parameterkurven ein und ordnet diese 
einander zu. Sind wieder a, ß, bezw. a x , ß x die Parameter 
der Minimalkurven, so vermitteln die Gleichungen 
(8) 
a = F(a L ), ß^F^ßi) 
oder 
(9) 
a-Ftf,), ß^F.M 
die allgemeinste konforme Abbildung. Soll diese ins 
besondere reell sein, d. h. soll einem reellen Punkt der einen 
Fläche ein reeller Punkt der andern entsprechen, so müssen 
F und F x konjugierte Funktionen sein. Die Linienelemente 
beider Flächen sind durch (1) dargestellt. 
Um nun von den komplexen Parametern der Minimal 
linien zu den reellen der isometrischen Linien überzugehen, 
haben wir zu setzen 
a = u-\-iv, ß = u — iv, 
a x =u 1 -{-iv 1 , ß x = u x — iv x , 
wodurch die Linienelemente (1) übergehen in 
(10) ds* = №(du* + dv*), 
(11) ds\ = {du\ + dv\). 
Die Abbildungsformeln werden nach (8) und (9) 
(12) u-\-iv = F{u x -\-iv x ), u — iv = F x (u x — iv x ), 
oder 
(13) 
wo j 
daß 
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der 
v x d 
(13) 
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nach 
(14) 
also 
(15) 
wo d 
u x -J- 
und 
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v = k 
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E 
(16) 
Ko