52 !• Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Strahl durch den Ursprung liegt, und die erste Gleichung (3) 
zeigt, daß das Produkt ihrer Abstände vom Ursprung kon 
stant =a 2 ist. Die Punkte eines Kreises um den Ursprung 
mit dem Radius r gehen also über in die Punkte eines kon- 
a 2 
zentrischen Kreises, dessen Radius r-, = — ist. Aus diesem 
r 
Grund heißt die Abbildung „Transformation durch 
reziproke Radien“ oder auch kurz „Inversion“ (Liou- 
ville). Der Kreis um den Ursprung mit dem Radius a heißt 
Inversionskreis; jeder Punkt desselben fällt mit seinem Bild 
punkt zusammen. Man beweist leicht folgende Sätze für 
diese Abbildung: 
Jede Gerade geht in einen Kreis durch den Koordinaten 
ursprung über und umgekehrt. 
Jeder Kreis, der nicht durch den Koordinatenursprung 
geht, geht in einen Kreis über. 
Jeder Kreis durch zwei zugeordnete Punkte fällt mit 
seinem Bild zusammen und schneidet den Inversionskreis 
rechtwinklig. 
Anmerkung 1. 
gewählt 
x-\-xy 
Hätte man als Transformationsgleichungen 
a 2 . a 2 
x^—iy^ * X l -\-iy i 
so hätte man statt des Bildpunktes P t sein Spiegelbild in Bezug 
auf die X-Achse erhalten. 
Anmerkung 2. Die konforme Abbildung zweier Ebenen 
heißt auch isogonale Verwandtschaft. 
II, Kugel auf Ebene. 
Dieser Fall ist wegen seiner Wichtigkeit für die Karto 
graphie von besonderem Interesse. 
Als Parameter für die Kugel wählen wir die ther 
mischen Parameter u und v, die in § 7, Gl. (26) eingeführt 
sind. Die Gleichungen der Kugel lauteten dort 
2 u 2-y „ u 2 -\-v 2 — 1 
( 5 ) X '-= U 2 + V 2 +1 > u 2_J_ V 2_|_ 1' 0= U 2 + V *+1 > 
und für das Linienelement war gefunden 
. 4 {du 2 + dv 2 )