56 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
und das Linienelement ist nach § 7, (18) 
4 da dß 
(13) 
ds 2 
(« — ß) 2 
Jedem Wertepaar a, ß entspricht ein Kugelpunkt und 
zwar ein reeller, wenn a und — ~ konjugiert imaginär sind 
(s. § 7, S. 40). Einem andern Wertepaar a 1} ß x derselben Art 
entspricht dann ein Kugelpunkt {x x , y u sß), wo 
! 14) yi : “i—a 
ist. Das Linienelement ds 1 ist dann 
4 da l dß x 
i( 1 + a ißi) 
a i + ßi 
a i~ßi 
(15) 
dsl 
(«i — ßi) 2 
Setzen wir nun 
(16) «!=*», ßx-FM, 
so entspricht jedem Kugelpunkt (a, ß) ein zweiter {a 1 , ßß). 
Die Kugel ist also auf sich selbst abgebildet, und zwar 
konform, weil die Minimallinien einander zugeordnet sind 
(vgl. § 8, Satz 1). Die Abbildung ist reell, wenn sich a t 
aus (16) als die zu —konjugierte Größe ergibt. 
ßi 
Wir betrachten den speziellen Fall der linearen Sub 
stitution 
(17) 
aa + l ß 0/ß-\-l) 
ca-\-d’ 1 cß-ßd’ 
wo a, h, c, d beliebige komplexe Konstanten sind. Die Ab 
bildung (17) ist also im allgemeinen keine reelle (s. Anmer 
kung 1). Aus (13) und (15) folgt leicht 
ds 2 = dsl 
d. h. entsprechende Linienelemente sind gleich groß, und 
entsprechende unendlich kleine Dreiecke sind kongruent. 
Daraus folgt, daß auch entsprechende endliche Figuren kon 
gruent oder symmetrisch sind. Nach dem am Schluß von 
§ 8 Gesagten sieht man leicht, daß die Abbildung eine 
solche in gleichem Sinne ist, d. h. daß entsprechende Figuren