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§ 10. Flächentreue Abbildung. 
beiden) die Gleichungen (1) oder (2) in eine Form zu bringen, 
bei der (4) erfüllt ist. Wir führen nämlich zu diesem Zweck 
auf einer der Flächen, etwa F vermittelst der Gleichungen 
(5) u'=0{u,v), v'=F(u,v) 
neue Parameter u', v' ein. 
Zugleich führen wir auch für F x die Parameter u', v' 
ein, indem wir 
(6) u = u', v = v' 
in (2) setzen. Jedem Wertepaar u', v' entspricht nun ein 
Punkt von F und F 1 . Bezeichnet man die Größen, in den 
neuen Parametern geschrieben, durch Striche, so ist 
dJ' = A'du'dv', dJi= A[du'dv'. Soll nun die Abbildung 
flächentreu sein, so muß 
(7) A'=Af 
sein. Nun ist aber A^A.,^ und nach § 5, (8) 
A-A'f— ÖW dW d0 \ 
\c>m dv du dv)’ 
wenn dort für u, v, u X) v x , P, Q der Reihe nach u', v', 
u, v, 0, W gesetzt wird. Aus (7) und den letzten Glei 
chungen folgt aber 
F0dW dWd0_A 
y du dv du dv A x 
Um also zwei gegebene Flächen F und F 1} deren 
Gleichungen (1) und (2) sind, flächentreu aufeinander ab 
zubilden, hat man zwei Funktionen 0 und W so zu be 
stimmen, daß sie der Bedingung (8) genügen. Eine der 
selben, etwa P, kann hierbei noch vollständig willkürlich 
gewählt werden; dann gibt (8) eine lineare partielle Diffe 
rentialgleichung erster Ordnung für 0. Ist auch 0 bestimmt, 
so hat man vermittels der Gleichungen (5) und (6) in (1) 
bezw. (2) die Parameter u' und v' einzuführen, worauf beide 
Flächen flächentreu aufeinander abgebildet sind. Aus dem 
angegebenen Verfahren folgt, daß zwei Flächen auf unendlich 
viele Arten flächentreu aufeinander abgebildet werden können. 
Ist eine der beiden Flächen, etwa F t , die XF-Ebene, 
und sind x x und y x die Koordinaten eines Punktes derselben, 
so ist x x = u, y x =v, z x = 0, A x = 1.