§ 10. Flächentreue Abbildung, 
Die Bedingung (8) lautet nun 
61 
(13) 
ew ew 
du dv du dv 
Auf der rechten Seite können wir unbeschadet der All 
gemeinheit das + Zeichen wählen; denn ein Zeichenwechsel 
von r entspricht einem Zeichen Wechsel einer der Funktionen ( I> 
oder P, oder nach (10) einer Umklappung der Ebene um eine 
der Koordinatenachsen. Eine der Funktionen und W ist 
noch willkürlich; setzen wir z. B. W—v, so ergibt sich 
aus (9) 
&=jr du. 
(14) 
Die Rotationsfläche (11) wird daher auf die XF-Ebene 
flächentreu abgebildet durch die Gleichungen 
(15) 
Daher gehen die Parallelkreise u — konst. in Parallelen 
mit der F-Achse; die Meridiane v = konst. in Parallelen 
mit der X-Achse über. Natürlich könnte man in (15) x x 
und y x miteinander vertauschen. 
Beispiel. Flächentreue Abbildung der Kugel 
auf die Ebene (vgl. Fig. 23). 
Die geographische Breite (Meridianbogen) sei u, die geo 
graphische Länge v, dann sind die Gleichungen der Kugel 
vom Radius = 1 
(16) x — COS U COS V , y — cos u sin V , £ = sinw. 
Es ist also hier die Funktion r in (11) =cosm. 
Die Gleichungen (15) geben dann mit Vertauschung 
von x 1 und y x 
(17) x x = v, y 1 = sin u. 
Die Gleichungen (17) zeigen, daß man diese Abbildung 
sehr einfach geometrisch auf folgende Weise erhält. 
Man legt (vgl. Fig. 23) um die Kugel einen Rotations- 
cylinder, der sie längs des Äquators {u = 0) berührt mid 
zieht durch jeden Kugelpunkt P eine Gerade, welche die 
X-Achse senkrecht schneidet; der Schnittpunkt dieser Ge 
raden mit dem Cylinder sei P v Wickelt man nun den 
Gylinder in die Ebene ab, so ist P x das Bild von P. Es