§11. Deformation der Flächen. 
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(4) 
ds2 = E l du 2 + 2 F t du dv + G l dv 2 
mierbar oder aufeinander abwickelbar. Der letzteren 
Bezeichnung liegt folgende Anschauung zu gründe: Man 
denke sich die Fläche F und entsprechend auch F x in un 
endlich kleine, paarweise kongruente Dreiecke geteilt. Legt 
man nun ein Dreieck PQR von F auf das entsprechende 
P X Q X R X von F x und dreht dann die an PQB anstoßenden 
Dreiecke von F um die Seiten von PQP so weit, bis sie 
mit ihren entsprechenden von F x zusammenfallen usw., so 
sieht man, daß beide Flächen zur Deckung kommen, inein 
ander verbogen oder aufeinander abgewickelt sind. Als 
Beispiel mag die Abwicklung des Kegels oder Cylinders in 
eine Ebene dienen. Eine solche Verbiegung ohne Deh 
nung, d. h. ohne daß Dreiecke gedehnt werden, und ohne 
Faltung, d. h. ohne das auf ein Dreieck der einen Fläche 
zwei oder mehrere der anderen fallen, heißt Deformation 
oder Verbiegung schlechtweg. Bei der Deformation wird 
also nur der unendlich kleine Winkel anstoßender Dreiecke 
geändert. Damit nun eine solche Verbiegung wirklich statt 
finden kann, muß natürlich die Möglichkeit nachgewiesen 
werden, die Fläche F einer stetigen Reihe von Gestaltsände 
rungen zu unterwerfen, deren letztes Glied F x ist. Wir 
kümmern uns hier nicht darum, ob dies für jede Fläche 
ausführbar ist, sondern nennen überhaupt zwei Flächen 
dann ineinander deforraierbar, wenn sie konform so 
aufeinander bezogen werden können, daß das Ver 
größerungsverhältnis allenthalben = 1 ist. 
Die Gleichungen der beiden Flächen seien 
(1) 
X = f{u,v), 
lJ = ( p(u,v), 
Z = yj{u, V) 
und 
(2) 
x x =F{u,v), 
Vx = #(«,«0, 
z x =W (u, v). 
Jedem Wertepaar u, v entspricht auf jeder der beiden 
Flächen ein Punkt, und wir fragen nun zunächst nach der 
Bedingung dafür, daß die hierdurch bestimmte Abbildung 
konform mit dem Vergrößerungsverhältnis = 1 ist. Sind 
(3) ds 2 = E du 2 + 2 Fdudv + Gr dv 2 
und