§ 11. Deformation der Flächen. 
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Kommereil, Theorie der Raumkurven. II. 
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tische Krümmung einer Flächenkurve eine Biegungsinvariante 
ist (vgl. Bd. I, S. 134). Analytisch ist die Bedingung 
für solche Biegungsinvarianten leicht anzugeben. Da näm 
lich JE, F, G bei der Verbiegung sich nicht ändern, so sind 
alle Funktionen von E, F, G und ihren partiellen Ablei 
tungen bei einer Deformation invariant. Gauß hat nun — 
und es ist dies eine seiner schönsten und fruchtbarsten Ent 
deckungen — gezeigt, daß sich das Krümmungsmaß h = ■ ^ ■ 
in einem Flächenpunkte lediglich durch die Größen E, JE, G 
und ihre Differentialquotienten darstellen läßt. Das Krüm 
mungsmaß ist somit eine Biegungsinvariante, und 
entsprechende Punkte zweier ineinander deformierbaren 
Flächen haben gleiches Krümmungsmaß; bei der Abwick 
lung der einen Fläche auf die andere kommen also 
die Ku rven konstanten Krümmungsmaßes zur 
Deckung. 
Um den Satz von Gauß zu beweisen, gehen wir 
aus von § 3, (14) 
Benutzt man § 2, (13 a) und § 1, (21), so läßt sich ohne 
Mühe zeigen, daß 
{DD"—D' 2 ) A 2 = 
d 2 x d 2 x 
du 2 dv 2 
\dudvj \ 
d 2 x \ 2 \ 
m n 
(8) 
n" 
E F 
F G 
0 m' n' 
m' E F 
n' F G 
ist. 
Nun folgt aus § 1, (21) 
du 
dm' 
du dudv 2 ’ 
dx d 3 x 
dx d 3 x 
dv 
dv 
du dudv 2