§ 12. Beispiele für die Deformation. 
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2) E=G = l, F= 0, ds 2 = l{du 2 -\-dv 2 ), 
(12) 
3) K=l, F=0, ds 2 = du 2 G dv 2 , 
(13) 
1 d 2 fG 
fG du 2 
4) E = G = 0, ds 2 = 2 Fdudv, 
(14) 
1 d 2 lg F 
F dudv 
Bemerkung. In engem Zusammenhang mit obigen 
Entwicklungen steht das Problem, alle Flächen zu finden, 
die auf eine gegebene abwickelbar sind. Analytisch drückt 
sich diese Aufgabe so aus: gegeben sind die Koeffizienten 
E, F, G des Linienelements, verlangt die Darstellung von 
x, y, 2 in Funktion von u und v. Diese Aufgabe war seiner 
zeit (1859) Preisfrage der Pariser Akademie, und an ihre 
Lösung haben sich wichtige Arbeiten (Bour, Bonnet, Codazzi) 
angeschlossen. Das Resultat dieser Arbeiten sei hier nur 
historisch angeführt: man gelangt zu einer partiellen Diffe 
rentialgleichung zweiter Ordnung (dieselbe ist in § 20, 
Aufg. 50 angegeben), der die Koordinaten x, y, 2 als Funk 
tionen von u und v genügen müssen. Das allgemeine Integral 
derselben ist jedoch noch nicht gefunden. 
§ 12. Beispiele für die Deformation. 
1. Die in die Ebene abwickelbaren Flächen. 
Schon in Bd. I, § 10 haben wir auf Grund geometrischer 
Betrachtungen gefunden, daß jede Fläche, welche durch 
die aufeinanderfolgenden Tangenten einer Raumkurve er 
zeugt wird, in eine Ebene abgewickelt werden kann. Wir 
nehmen diese Frage noch einmal auf, indem wir zeigen, 
daß das Linienelement jeder derartigen Fläche in das der 
Ebene dx 2 -\-dy 2 transformiert werden kann, womit dann 
auch analytisch nachgewiesen worden ist, daß alle diese 
Flächen in die Ebene abgewickelt werden können. 
Die Koordinaten x v y v 2 1 eines Punktes Q der Raum 
kurve mögen als Funktionen des Bogens v der Kurve ge