§ 12. Beispiele für die Deformation. 73 
daß sie stets eine Rotationsfläche, bezw. Schraubenfläche 
bleibt. 
Als Beispiel zu diesen allgemeinen Entwicklungen be 
handeln wir die 
Aufgabe. Die Schraubenflächen zu suchen, die 
auf das Katenoid abwickelbar sind. 
Das Katenoid ist die Rotationsfläche, welche entsteht, 
wenn man die Kettenlinie um ihre Basis rotieren läßt. Nimmt 
man die Z-Achse als Basis, so hat die Meridiankurve des 
Katen oids die Gleichung 
(22) u = ^(e™+e~™Y 
Durch Auflösung nach z erhält man die Funktion f(u) 
in (15). Aus (22) folgt 
du 1 
dz 2 
und hieraus durch eine einfache Rechnung 
dz 
du 
= /» 
m 
}V 2 — m' 1 ’ 
Aus der zweiten Gleichung (21) folgt durch Differenzieren 
du x 2 r 
dr u 
Setzt man diesen Wert und den oben für 1 + f r (u) 2 
gefundenen in die dritte Gleichung (21) ein, so folgt 
= -j, r 2 cp'jr) 2 
u 2 — m 2 r 2 + a 2 
Ersetzt man hier noch u durch r mittels der zweiten 
Gleichung (21), so erhält man eine Gleichung für cp'(r), aus 
der durch Quadratur folgt 
(23) cp (r) 
]/(r 2 + a 2 ) [k 2 r 2 {x 2 — 1) + m 2 — x 2 a 2 ] 
r ]/x 2 r 2 — (m 2 — x 2 a 2 ) 
dr-\- C. 
Damit ist cp (r) bestimmt, und die Gleichungen (17) er 
geben nunmehr die auf das Katenoid abwickelbaren Schrauben 
flächen. Die Konstanten x, a und C sind hierbei noch völlig