74 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
willkürlich. Die Integration in (23) ist für den Fall k = \ 
ausführbar und man erhält zunächst 
Setzt man zur Abkürzung m 2 — a 2 = b 2 , so folgt aus (24) 
(p{r) = b lg (-J/V 2 + a 2 + ]/r 2 — h 2 ) — a arctg-^T* a + C. 
a]r 2 — b 2 
Die Konstante C kann füglich = 0 gesetzt werden, da 
eine Änderung von C nur eine Verschiebung der Schrauben 
fläche parallel mit der if-Achse bedeutet. Danach sind die 
auf das Katenoid abwickelbaren Schraubenflächen bestimmt 
durch die Gleichungen 
x = r cos w, y = r sin w, 
(25) 0 — b\g []/r 2 + a 2 -\- ]/r 2 — b 2 ] — a arc tg-\-aw, 
ayr 2 — b 2 
wo 
b = ym 2 — a 2 . 
Hier ist die Konstante a, welche die Ganghöhe (2an) 
bestimmt, noch willkürlich; es stellen deshalb die Gleichungen 
(25) eine einfach unendliche Schar von Schraubenflächen dar, 
welche alle auf das durch (22) bestimmte Katenoid ab 
wickelbar sind. 
Setzen wir in (25) zunächst a — 0, so erhalten wir eine 
Schraubenfläche mit der Ganghöhe Null, d. h. eine Rotations 
fläche, und zwar eben das Katenoid, wie man durch Auf 
lösung von (22) nach z leicht nach weist. Wächst nun a 
stetig von Null an weiter, so erhalten wir zunächst eine 
Schraubenfläche von sehr kleiner Ganghöhe, wobei die 
Parallelkreise zu Schraubenlinien verbogen werden, deren 
Ganghöhe mit a immer mehr zunimmt. Hat endlich a den 
Wert m erreicht, so sind die Gleichungen der Schraubenfläche 
x — r cosw, y = rsmw, z = cnv. 
Dies ist die sogenannte Wendelfläche, die man erhält, 
wenn man von den Punkten einer Schraubenlinie die Lote 
auf die Schraubenachse fällt. Wir haben also nachgewiesen,