§ 13. Geodätische Linien, geodätische Koordinaten. 75 
daß das Katenoid durch stetige Gestaltsänderung in die Form 
der Wendelfläche gebracht werden kann, 
Anmerkung 1. Man erhält von dieser Deformation eine 
einfache Vorstellung, wenn man untersucht, welche Gestalten der 
Kehlkreis des Katenoids, dessen Gleichung u = m, oder 2 = 0 ist, 
bei der Deformation nacheinander annimmt. Aus der zweiten 
Gleichung (21) folgt (für u = m, * = 1) r = fm 2 — a' 2 = b. Setzt man 
dies in (25) ein, so erhält man als Gleichung der Schraubenlinie, 
in welche der Kehlkreis bei der Verbiegung übergeht 
x = b cos w, y = b sin w, z = aiv -[- konst. 
Die Konstante kann wieder gleich Kuli gesetzt werden, da 
sie die Gestalt der Schraubenlinie nicht beeinflußt. Setzt man 
noch für b seinen Wert ein, so folgt 
(26) x = 1 m 2 — a 2 cos w , y = ]'m 2 — a 2 sin w , 2 = aiv. 
Die Länge eines Umgangs dieser Schraubenlinie ist, wie man 
leicht sieht = 2 nm, also von a unabhängig und gleich der Länge 
des Kehlkreises des Katenoids. Wächst a, so wird — a 2 , d. h. 
der Radius des Oylinders, auf dem die Schraubenlinie (26) liegt, 
immer kleiner, bis er schließlich für a = m gleich Null wird, d. h. der 
Kehlkreis wird in die Z-Achse ausgestreckt. Um also auf mecha 
nischem Wege die verschiedenen Deformationsflächen des Kate 
noids zu erhalten, schneide man dasselbe längs eines Meridians 
auf, fasse die beiden Enden des Kehlkreises und ziehe sie so aus 
einander, daß ihre Verbindungslinie immer parallel der Achse 
des Katenoids bleibt, während der Kehlkreis eine Schraubenlinie 
bildet: das am Kehlkreis hängende Katenoid deformiert sich so 
von selbst in die -verschiedenen Schraubenflächen. Zieht man die 
beiden Enden immer weiter auseinander, bis schließlich der Kehl 
kreis in eine gerade Linie ausgestreckt ist, so ist aus dem Kate 
noid eine Wendelfläche geworden. Damit hat diese Art von De 
formation aber offenbar ihr Ende erreicht. In der Tat geben die 
Gleichungen (26) für a > m imaginäre Kurven. 
Anmerkung 2. Es dürfte nicht ohne Interesse sein, zu be 
merken, daß die Flächen (25) lauter Minimalflächen sind, für die 
also in allen Punkten die mittlere Krümmung h = 0 ist. Den Beweis 
überlassen wir dem Leser. Es sind die von Scherk 1834 auf 
anderem Wege gefundenen Minimalflächen; dieselben bilden ein 
System assoziierter Minimalflächen (vgl. § 26). 
§ 13. Geodätische Linien, geodätische Koordinaten. 
Liouvillesche Flächen. 
In § 3 wurden die Differentialgleichungen der Asymp 
totenlinien und Krümmungslinien auf die Parameterfonn 
übertragen; es ist nun noch die Differentialgleichung der