80 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Andererseits ist aber ds v in der unmittelbaren Um 
gebung des Punktes P der Bogen eines unendlich kleinen 
Kreissektors mit dem Schenkel u und dem Zentriwinkel dv, 
also ist für diesen Fall, wenn u sehr klein ist 
ds v = udv. 
Für unendlich kleine Werte von u ist also ^G=u } 
oder das erste Glied von der Entwicklung von ]/G nach 
Potenzen von u ist u. Es folgt so 
Dies sind die Bedingungen, denen G genügen 
muß, falls die Parameter (u, v) in (5) geodätische 
Polarkoordinaten bedeuten. 
Wir behandeln noch einige Anwendungen der hier ent 
wickelten Sätze und Formeln. 
1) Gegeben sei das Linienelement einer Fläche 
in der allgemeinen Form 
ds 2 = E du 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 . 
Welches ist die Bedingung dafür, daß die Kurven 
w = konst. geodätische Parallelen sind und u den 
Bogen der geodätischen Linien bedeutet? 
Die Orthogonaltrajektorien der Kurven du= 0 (geodä 
tische Linien) haben nach § 1, (14) die Differentialgleichung 
Fdu-\- Gdv = 0. 
Für diese geodätischen Linien ist also überall 
für das Linienelement ds g derselben folgt also 
Da aber für diese nach Voraussetzung ds g = du sein soll, so 
folgt als die gesuchte Bedingung 
EG — F 2 
G