§ 13. Geodätische Linien, geodätische Koordinaten. 83 
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meterkurven isometrische Linien sind. Ferner läßt sich 
zeigen, daß sie auch geodätische Ellipsen und Hyperbeln 
sind. Das Linienelement läßt sich nämlich in der Form 
schreiben 
(fÜdu) 2 {fVdvf 
(10) 
ds 2 ■ 
U+VJ \(/ U+V) 
Führt man nun % = /ifÜ du und v x —f ]/V dv als Para 
meter ein, so ist das Linienelement auf die Form (8) ge 
bracht, womit die Behauptung bewiesen ist. 
Anmerkung. Man zeigt leicht, daß die Flächen zweiten 
Grades und die Rotationsflächen Liouvillesche Flächen sind, 
und daß auf ihnen die Krümmungslinien ein System geodätischer 
Ellipsen und Hyperbeln bilden, (Vgl. auch Bd. I, § 26, Satz B 
und 6.) 
4) Wir beweisen schließlich noch den 
Satz 5. Für die Liouvilleschen Flächen kann 
die Differentialgleichung der geodätischen Linien 
vollständig integriert werden. 
Beweis. Wir nehmen an, daß das Linienelement auf 
die Form (9) gebracht sei, so daß also 
E— G—U+V, F=0 
ist. 
Die Differentialgleichung N= 0 der geodätischen Linien 
wird dann nach (2) 
(11) (£7+ V){dud 2 v— dv d 2 u)-\-\{du 2 -\-dv 2 ){U' dv—V'du)=0. 
Sie läßt sich auch in der Form schreiben 
(12) 
oder 
ü' dudv 2 {du 2 + dv 2 ) + 2 £7dudv {du d 2 v — dv d 2 u) 
{du 2 + dv 2 ) 2 
V'dv du 2 {du 2 + dv 2 ) + 2 Vdudv {dv d 2 u — dud 2 v) 
{du 2 -\-dv 2 y 
d 
U dv 2 
d 
V du 2 
= 0. 
du 2 -\-dv 2 du 2 + dv 2 
Also ist ein erstes Integral der Differentialgleichung (11) 
U dv 2 V du 2 
(13) 
du 2 -\-dv 2 du 2 -\-dv 2