84 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform, 
wo a eine Integrationskonstante ist. Aus (13) folgt 
Also ist das vollständige Integral von (11) 
du 
dv 
(15) 
ftT^a 
fV+ä 
mit den Integrationskonstanten a und h. 
Endlich ist das Bogenelement ds g der geodätischen 
Linien nach (9) und (14) bestimmt durch 
ds g = — a du + 'jV + a dv, 
(16) 
also kann die Bogenlänge der geodätischen Linien auf 
Liouvilleschen Flächen ebenfalls durch Quadratur gefunden 
werden. 
§ 14. Differentialgleichung der geodätischen Linien 
in der Gaußschen Form. Totalkrümmung eines geo 
dätischen Dreiecks. 
Gauß hat die Differentialgleichung der geodätischen 
Linien in eine für die Anwendungen besonders geeignete 
Form gebracht, indem er die Winkel, welche sie mit den 
Parameterkurven bilden, als Variable einführte. Wir stellen 
zunächst diese Winkel für eine beliebige Eichtung du:dv 
auf. Die Winkel dieser Richtung mit den Parameterkurven 
, y = konst., bezw. w = konst, seien '& l , bezw. $ 2 (vgl. Fig. 27) 
derart gemessen, daß 
(1) 
$1 + $2 = Ö> 
ist, wo co den Winkel der Parameterkurven bedeutet. Es 
ist nun nach § 1, (14) und (15) 
(2) 
Fdu + G dv . n A du 
— , sm i% = — 
Hieraus ergibt sich in der Tat , d 1 + d 2 
= CO.