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I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
wo die p, q, usw. die in § 1, (22) definierten Größen sind. 
Dies sind die beiden Gleichungen von Mainardi. Die 
Gaußsche Gleichung lautet nach § 11, (10), wenn wir alle 
vier Formen anschreiben 
(3) 
1 Idq dq' 
E\dv du 
1 idp" dp 
-\-pq'—p'q + qq"— q' 2 
1 Idp' 
GVdu 
q"p'— q'p"+p"p —p' 2 \ ■ 
du dv 
Diese drei Gleichungen (1) bis (3) sind zugleich die 
einzigen, welche zwischen den sechs Fundamentalgrößen 
bestehen. Man erhält sie auch, wenn man für das System 
§ 2, (18), (18a) und (20) die Integrabilitätsbediugungen auf 
stellt. Man hat hierbei die Identitäten zu benutzen. 
und ebenso für h und c 
d dl d 2 x \ 
dv du\dudv]” 
d dl d 2 x \ 
n y V 8, 
» y v 
du\dv 2 j dv\dudv) ” 
Es ergeben sich so 9 Gleichungen, die sich aber auf 
die drei Gleichungen (1) bis (3) reduzieren lassen. Die 
selben sind von fundamentaler Bedeutung für die Flächen 
theorie. Sind nämlich sechs Größen JE, F, Gr; I), I)', 1)" 
als Funktionen von u und v gegeben, die den Gleichungen 
(1) bis (3) genügen, so sind die Systeme § 2, (18), (18a) 
und (20) integrabel und liefern durch Integration a, h, c;