Kapitel XII. 
Die Flächen 4 ter Ordnung. 
§ 1. Allgemeines. Flächen mit Doppelpunkten und 
Doppellinien. 
Die allgemeine Fläche 4 ter Ordnung ist von der 36 teR Classe; 
die Ordnung des ihr umschriebenen Kegels, dessen Spitze in einem 
beliebigen Punkt des Baums liegt, ist die 12 te ; es gibt 24 Bück- 
kehr erzeug ende dieses Kegels; zwölf von ihnen sind doppelt. 
Die Ordnung der parabolischen Curve ist die 32 te . 
Die allgemeine Gleichung der Fläche 4 teT Ordnung hängt 
von 34 nicht homogenen Coefficienten ab. 
Die Fläche 4 teT Ordnung kann nicht mehr als 16 Doppel 
punkte haben. 
Die Fläche kann, ohne eine Begelfläche zu sein, eine Doppel- 
gerade, einen Doppelkegelschnitt, einen Cuspidalkegeischnitt (vergl. 
Kap. 9, § 4) und drei Doppelgerade besitzen, die sich in einem 
Punkt schneiden und nicht in derselben Ebene liegen. 
Eine Fläche 4 ter Ordnung, welche zur Doppellinie eine nicht 
ebene Linie hat (die aber nicht die Gesammtheit von drei nicht in 
einer Ebene liegenden und sich in einem Punkt treffenden Geraden 
sein darf), ist immer eine Begelfläche. 
Die höchste Singularität, die eine Fläche 4 teT Ordnung haben 
kann, ist eine dreifache Gerade; die Fläche ist dann nothiv endig er 
weise eine Begelfläche. 
Wenn die Fläche 16 Doppelpunkte hat, so ist der ihr um 
schriebene Kegel, dessen Spitze in einem der Doppelpunkte liegt, 
von der 6‘ ten Ordnung und zerfällt in 6 Ebenen. 
Die allgemeinen Flächen 4 ter Ordnung sind noch nicht so 
eingehend untersucht worden, wie die entsprechenden cuhischen 
Flächen. Man hat sich mehr mit den speciellen Flächen 4 ter 
Ordnung, die durch die Eigenschaft charakterisirt sind, dass sie 
Doppelpunkte oder Doppellinien enthalten, und mit den Regel 
flächen 4 ter Ordnung beschäftigt.