376 Kap. XIY. Die Linien- und Kugelgeometrie im Raum. 
Eine elegante geometrische Interpretation dieser Transfor 
mation ist die folgende: Die sechs p ij werden als homogene 
Coordinaten eines Punkts im Raum von 5 Dimensionen auf 
gefasst; alsdann stellt die Relation 2 ten Grads, welcher die p 
genügen, in diesem Raum eine nicht degenerirte Fläche 2 ter Ord 
nung dar (weil ihre Discriminante von Null verschieden ist); 
jeder Punkt dieser Fläche entspricht so einer Geraden des 
Raums und umgekehrt und die Geometrie auf dieser Fläche 2 ter Ord 
nung entspricht der Liniengeometrie des gewöhnlichen Raums. 
Wir wollen eine lineare Transformation der Coordinaten in 
dem Raum von 5 Dimensionen derart vornehmen, dass die 
Gleichung dieser Fläche 2 ter Ordnung die Form 
-5V = o 
annimmt, d. h. die Form, welche nur die Terme mit den Quadraten 
der Coordinaten enthält (es lässt sich dieses auf unendlich viele 
Arten ausführen, vergl. Bd. 1, Kap. 12, § 15); die neuen Coordinaten 
sind dann die oben erwähnten Klein’schen. Wie man nun weiss, 
sind die linearen Räume x¿ = 0, wenn der Gleichung der Fläche 
2 ter Ordnung die obige Form gegeben wird, zu je zweien in Be 
zug auf die Fläche 2 ter Ordnung conjugirt, d. h. der Pol eines 
der Räume in Bezug auf die Fläche 2 ter Ordnung liegt in dem 
anderen Raum (diese Eigenschaft ist nur die Erweiterung des 
für die Kegelschnitte auf S. 79 und für die Flächen 2 ter Ord 
nung auf S. 106 angegebenen Satzes). Wir kommen mithin zu 
dem Resultat: Die Fundamentalräume in dem neuen Coordi- 
natensystem sind zu je ziveien in Bezug auf die Fundamental- 
fläche 2 tei Ordnung conjugirt. 
Eine Relation zwischen den Liniencoordinaten stellt eine 
dreifache Unendlichkeit von Geraden im Raum dar, d. h. das, 
was man einen Liniencomplex zu nennen pflegt; zwei Relationen 
zwischen den Liniencoordinaten stellen eine doppelte Unendlich 
keit von Geraden dar, d. h. eine Liniencongruenz und schliess 
lich drei Relationen zwischen den Liniencoordinaten eine Regel 
fläche. 
Vier Beziehungen der genannten Art stellen dann im All 
gemeinen eine endliche Anzahl von Geraden des Raums dar. 
Definirt man einen Complex als eine Mannigfaltigkeit oo 3 
von Geraden und einen algebraischen Complex als eine Mannig 
faltigkeit oo 3 von Geraden, deren Coordinaten algebraische