Kapitel XIX. 
Projective Geometrie der mehrdimensionalen Räume. 
§ 1. Allgemeines. Lineare Mannigfaltigkeiten. 
Projective und metrische Relationen. Homographische 
Correspondenzen. 
Wenn n Variable x 2i . . ., x n gegeben sind, so ist jede 
Gruppe von speciellen (reellen oder auch complexen) Werthen 
dieser Variablen ein Element (Punkt) eines Baums von n Dimen 
sionen, eines Hyperraums, den wir mit B n bezeichnen wollen. 
Statt n Variable kann man auch n -J- 1 und die Ver 
hältnisse von n dieser Variabein zur letzten betrachten ; der 
Punkt des B n wird durch die Wertbe dieser Verhältnisse be 
stimmt, und die entsprechenden Wertke der n -j- 1 Variabein 
kann man die homogenen Coordinaten des Punkts nennen; sie 
können alle möglichen Wertbe annebmen, nur dürfen sie nicht 
sämmtlich Null sein. 
Eine homogene lineare Gleichung zwischen diesen homogenen 
Coordinaten definirt eine lineare im B n enthaltene Mannigfal 
tigkeit ^ welche man eine n— 1 - dimensionale Ebene jB«_i im 
B n , oder, wie die Franzosen und Italiener sagen, Hyper ebene 
nennt. Der Baum B n enthält oo n solche Ebenen, wie er oc" 
Funkte enthält. 
Die Ebene E n _i und der Punkt können als zueinander 
duale Elemente des Raums B n angesehen werden; jene kann 
man sich aus Punkten, diesen dual aus Ebenen zusammen 
gesetzt denken. 
Zu homogenen Coordinaten einer E n — i kann man die n -(- 1 
Coefficienten ihrer Gleichung nehmen. 
Die Gesammtheit der Punkte, deren Coordinaten zwei 
linearen Gleichungen genügen, bildet eine Mannigfaltigkeit von 
n — 2 Dimensionen, die man n — 2 - dimensionale Ebene E n ^ 2 
nennt; die Italiener sagen bipiano ; die durch k lineare Glei- 
Pascal, Repertorium. II. 37