578 Kap. XIX. Projective Geometrie der mehrdimensionalen Räume. 
chungen gegebene Mannigfaltigkeit heisst eine n — Ti-dimen 
sionale Ebene E n —k- 
Eine E 0 ist ein Punkt; eine E x nennt man eine Gerade; 
eine E 2 bezeichnet man auch bisweilen als gewöhnliche Ebene, 
eine E 3 als gewöhnlichen Raum. 
Nimmt man zu Elementen des R n die n — 1 - dimensio 
nalen Ebenen E n —i anstatt der Punkte, so ergibt sich durch 
einfache bekannte Betrachtungen anstatt der v- dimensionalen 
Ebene E v ein (n — v — l)-dimensionales ebenes Punktgebilde 
i, durch das oo v E n —\ hindurchgehen. 
Die E v und die P ;i _„_i bilden die beiden Reihen von Grund 
gebilden, die sich im Raum B n dual entsprechen; die aus Punkten 
bestehende E x und der von oo n ~' 2 E n __i umhüllte P x sind 
Gebilde l ter Stufe (von einer Dimension); die E 2 und der P 2 
sind Gebilde 2 ter Stufe, und so weiter. 
Die Ebene E n —k wird im Allgemeinen durch n — k -f- 1 
Punkte bestimmt; sie ist ein linearer Baum (n — k) tei Dimen 
sion, ein im R n enthaltener Baum R n —k- 
Ztvei lineare im B n enthaltene Bäume R n —k und R n —k' 
haben im Allgemeinen keine Punkte gemeinschaftlich, wenn 
* + k'^> n ist; sie haben mindestens einen Baum B r gemein 
schaftlich, wenn 
k -f- k' — n — r ist; 
auch wenn k + k'^> n ist, können sie Punkte gemeinschaft 
lich haben. 
Wenn B r , B/ keine Punkte gemeinsam haben und zum B n 
gehören, so ist der lineare Baum kleinster Dimension, der zum 
B n gehört und sie beide enthält, von der Dimension r-f-r'-f-l. 
Haben ferner R r und B> einen Raum B m gemeinsam, so 
’gilt der Satz: 
Wenn zwei lineare Bäume B r und B r > einen Baum B m 
gemeinsam haben, so ist der lineare Baum kleinster Dimension t, 
der sie enthält, von der Dimension 
t = r -|- r' — m, 
d. h., es ist 
t -f- m = r -f- r'. 
Weitere Resultate über die in einem B n enthaltenen linearen 
Räume findet man bei Bertini, Bend. Istit. Lornb., 1886; 
Segre, Bend. Palermo, 2, 1888; Castelnuovo, Bend. Acc. 
Lincei, 1889.