Kapitel XX. 
Die Infmitesimalgeometrie und die natürliche Geometrie 
in den linearen Räumen R n und den Räumen R n von 
constanter Krümmung. 
§ 1. Die Curven in den linearen Räumen R n . 
Wir wollen uns die Coordinaten x eines Punkts der Curve 
als Functionen eines Parameters t gegeben denken. 
Durch k -j- 1 Punkte der Curve kann man einen linearen 
Raum von Ti Dimensionen legen; wir lassen die Ti -f- 1 Punkte, 
wie gewöhnlich, sich hei der Annäherung an einen Punkt P 
einander unbegrenzt nahe kommen; die Grenzlage dieses linearen 
Raums heisst der die Curve in P osculirende lineare Raum 
von Ti Dimensionen. Die Zahl Ti kann von 1 bis n— 1 variiren. 
Der Abstand eines dem Punkt P benachbarten Punkts der 
Curve von dem in P osculirenden linearen Raum von k Dimen 
sionen ist ein Unendlichkleines (k -f - l) ter Ordnung. 
Die Gleichungen des die Curve osculirenden linearen Raums 
von k Dimensionen erhält man, wenn die Minoren der Matrix 
Xt — 
’ "^2 ®2 ’ ' 
■ ’ X n — X n 
x t ', 
x 2 , 
< 
x^ 
%$) 
> •*'2 > 
. ., üß'T 
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gleich Null gesetzt werden; dabei bezeichnen x lf x. 2 , , x n die 
Coordinaten von P und x k , x± , . . . ; x 2 , x 2 ", ... die Deri- 
virten dieser Coordinaten nach der unabhängigen Variabein t. 
Wir wollen unter d k den Winkel verstehen, den die beiden 
in zwei benachbarten Punkten der Curve osculirenden linearen 
Räume von k Dimensionen miteinander bilden und unter s den 
von den beiden Punkten begrenzten Bogen; die Grenze des Yer-