Die nach Bessel’schen Functionen fortschreitende Integraldarstellung. 
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Curve im Fund x — 0 gerade = 1. Der Beweis dieses Satzes ist schon 
früher gegeben worden; vgl. Seite 19 (4.) und auch Seite 18 (1.). 
Ferner haben wir auf Seite 20 gesehen, dass die Function Jix) für 
sehr grosse Werthe von x darstellbar ist durch die Formel: 
T A sin x -f- B cos x 
wo A, B gewisse Constanten sind. Und hieraus ergiebt sich sofort folgender 
Zweiter Satz. — Ist a eine positive Grösse, und bezeichnet man den 
absolut grössten Werth, welchen die BesseVsche Function J(x) im Intervall 
x = «.... oo anzunehmen im Stande ist, mit 
(2.) T«, 
so wird man dieses Y“ durch Vergrösserung von a unter jeden beliebigen Klein 
heitsgrad hinabzudrüchen im Stande sein. Auch bemerkt man, dass, wenn 
0 <C « <C cc x < « 2 . . . . ist, zwischen den zugehörigen Grössen Y stets die Re 
lation statt finden ivird: 
(2 a.) T“ ;> T“‘ > Y“ 2 etc. etc.; 
dass also Y“ bei wachsendem a immer nur ab nehmen kann. 
Aufgabe. — Dies vorausgeschickt, stellen wir uns die Aufgabe, das 
Integral 
(3 .) J nx) *im dx 
o 
näher zu untersuchen, — unter der Voraussetzung, dass die Function 
(4.) F{x) 
im Intervall x = 0 ... A abtlieilungsiveise stetig und abtheilungsweise monoton 
ist; dabei sollen A und q beliebig gegebene positive Constanten sein. 
(5.) 
Wir zerlegen das Intervall 0 .... A in die für F(x) monotonen Strecken 
(0, rj), (r u r 2 ), {v 2 , t 3 ), ... . (tp i, A), und schalten überdies zwischen 0 
und Ti noch einen variablen Punct a ein. Der absolut grösste Werth, den 
die Function J{qx) im Intervall x = a oo anzunehmen im Stande ist, 
wird alsdann dargestellt sein durch Y 7 “ [vgl. die bei (2.) eingeführte Be 
zeichnungsweise]; ferner mag der absolut grösste Werth von F(x) für das 
ganze Intervall x = 0 .... A mit AI bezeichnet werden, und solches ange 
deutet werden durch die Formeln: