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Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
und denselben Ausdruck zwei Werthe. Hieraus folgt, dass die hier ange 
wandten Methoden sehr unzuverlässig sind. 
Uebrigens wird eine genauere Untersuchung im fünften Capitel uns 
zeigen, dass trotzdem die Formeln (A.) und (C.) im Allgemeinen richtig sind, 
und. dass Gleiches auch von der Formel (B.) gilt, falls man nur die beiden 
auf ihrer rechten Seite stehenden Werthe (0 und 2 L 0 ) durch das arith 
metische Mittel dieser Werthe (d. i. durch L 0 ) ersetzt. 
Zweites Capitel. 
Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
Statt von einer Function f{x) zu sagen, sie sei in einem gegebenen 
Intervall a ... ß beim Uebergange von a zu ß entweder niemals wachsend, 
oder aber niemals abnehmend, — statt dieser heut zu Tage üblichen sehr 
schleppenden Ausdrncksweise, werde ich kurzweg sagen, sie sei in jenem 
Intervall monoton. 
Diese und einige sich anschliessende Definitionen werde ich dem gegen 
wärtigen Capitel voranschicken. Sodann werde ich einen einfachen und über 
sichtlichen Beweis des wichtigen Du Bois-Reymond’sehen Mittelwerthsatzes 
mittheilen*), und endlich, gestützt auf diesen Satz, die Theorie der Fourier 
sehen Reihen zu entwickeln suchen. 
§ 1. 
Einige Definitionen. 
Monoton und abtheiluugsweise monoton. Sind a <C ß gegebene Constanten, 
so mag eine Function f\x) im Intervall a ... ß monoton wachsend heissen, 
wenn sie beim Uebergange von a zu ß theils im Wachsen**}, theils im Sich- 
*) Ich bin zu diesem neuen Beweise gelangt theils durch ein genaueres Studium des von 
G. F. Meyer gegebenen Beweises (Math. Anual. Bd. 6. S. 313), theils namentlich auch durch die von 
Du Bois-Feymond zu diesem Meyer’schen Beweise gegebene Ergänzung (Borchardt’s Journal, Bd. 79. 
Seite 42, Note). 
**) Ob dieses Wachsen ins Unendliche geht, ob es stetig oder sprungweise geschieht, — bleibt 
dabei gleichgültig. Demgemäss sind also z. B. sin x und tg x monoton wachsend zu nennen im Intervall 
0 .. .. ^n. Denkt man sich ferner eine Function f{x), welche = 0 bleibt, während tg# von 0 auf 1 
wächst, welche ferner = 1 bleibt, während tg# von 1 auf 2 wächst, sodann = 2 bleibt, während 
tg# von 2 auf 3 wächst, u, s. w., so wird diese Function f{x) für das Intervall 0 . . . . ebenfalls als 
monoton wachsend zu bezeichnen sein. Denn sie ist an jeder Unstetigkeitsstelle in sprungweisem 
Wachsen, und sonst im Sichgleichbleiben begriffen.