iceise stetig heissen, sobald dieses Intervall in eine endliche Anzahl von 
Strecken zerlegbar ist, der Art, dass die Function längs jeder einseinen Strecke 
stetig ist*); woraus wiederum folgt, dass eine derartige Function im Inter 
vall a .... ß überall endlich ist. — Denkt man sich also etwa eine Function 
fix) in der Weise definirt, dass sie in denjenigen Puncten, in welchen sina; 
positiv oder Null ist, = x 2 , hingegen in denjenigen Puncten, in denen sin# 
negativ wird, = x s sein soll, so wird dieselbe z. B. im Intervall 0 .... Hx 
abtheilungsweise stetig zu nennen sein. Definirt man aber die Function fix) 
in der Weise, dass sie für diejenigen Puncte, in denen sin(^ positiv oder 
Null ist, = x 2 , und in denjenigen Puncten, in denen sin(*) negativ ist, 
= x 3 sein soll, so wird diese Function im Intervall 0 .... Hx nicht mehr 
als abtheilungsweise stetig zu bezeichnen sein, weil in diesem Falle die An 
zahl der erforderlichen Abtheilungen unendlich gross sein würde. 
Constant und abtheilnngsweise constant. Eine Function f(x) heisst im 
Intervall a .... ß constant, sobald sie daselbst überall denselben Werth hat. 
Andererseits mag sie in jenem Intervall als abtheilungsweise constant bezeichnet 
werden, sobald dasselbe in eine endliche Anzahl von Strecken zerlegbar ist, 
der Art, dass die Function längs jeder einzelnen Strecke constant bleibt. 
§ 2. 
Der von Du Bois-Reymond aufgestellte Mittelwerthsatz. 
Erinnerung an den gewöhnlichen Mittelwerthsatz. Sind irgend zwei Reihen 
(reeller) Grössen gegeben: V lf V 2 , . . . V n und E { , E i} . . . E n , und sind ins 
besondere die E alle von einerlei Vorzeichen**), so ist bekanntlich 
(la.) -f- V 2 E 2 + •••-+- V n E n = W{E { + E 2 -f- • • • -f- E H ), 
wo unter TF ein gewisser Mittelwerth der V zu verstehen ist, d. i. ein Werth 
der nicht kleiner sein darf als das kleinste, und nicht grösser als das grösste V. 
Diesem Satze schliesst sich unmittelbar an ein anderer ebenfalls be 
kannter Satz. Sind nämlich V{x) und E{x) irgend zwei (reelle) Functionen, 
und ist E{x) im Intervalle x = a ... ß von constanten Vorzeichen, so gilt 
die Formel: 
j f 
(Ib.) J V(x) E{x) dx = W j E{x) dx, 
*) Diese Strecken wird man alsdann kurzweg die stetigen Strecken oder die stetigen Ahtheilungen 
der Function f(x) nennen können. 
**) Es sind hier absichtlich die Buchstaben V und E gewählt worden. Denn die V können ver 
schiedene Vorzeichen haben, während die E alle von einerlei Vorzeichen sein sollen.