Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
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X 1 ft 4 
/'O dx + I /0 dx + h / f 0 dx, 
oder, falls man die Definition von f beachtet, auch so: 
Diese Formel aber nimmt unter Anwendung der Bezeichnungen 
,i ß ,9 /9 ,9 
(6.) J l) =l<Pdx, Ji—IQdx, J 2 — I 4>dx, J n ~i’= I <bdx, J n =l<Pdx, 
ß 
Yn-1 
ce 
folgende Gestalt an: 
u — c\(j 0 — c 2 (J t — J 2 ) + c 3 (J 2 — / 3 ) • • • • + c' w _ 1 (J n _ 2 — ’G-x) + v n ('Ai-i JJ. 
Das letzte J, nämlich das J n ist [vgl. (6.)] identisch Null, gleiches gilt daher 
von dem Product: J n F[ß). Fügt man aber dieses verschwindende Product 
zur rechten Seite der letzten Formel hinzu, und ordnet sodann nach den 
J’s, so ergiebt sich: 
U — JJo + (C'a — C7,) J1 + (C3 — J2 + ip n ~ 0,1— 1) J n —i + J’(ß) — ( J,) J n ■ 
Hieraus folgt, weil die Grössen Ci, (C 2 — Ci), (C 3 — C 2 ), ((?„ — C'»_ 1 ), 
w) — C„), zufolge (4.), sämmtlich positiv sind, durch Anwendung des ge 
wöhnlichen Mittelwerthsatzes (la.) Seite 28 sofort: 
u = [c t + (c 2 - c\) + (c. - c\).. • + (c, - G n _j) + - cg] z, 
wo K einen unbekannten Mittelwerth der Grössen J 0 , J x , J 2 , . . . J n -n J« 
vorstellt. 
Jene Grössen J sind [vgl. (6.)] sämmtlich von der Form: 
(6 a.) 
In der That wird dieses Integral, falls wir seine untere Grenze £ von a nach 
ß wandern lassen, gewisse stetig zusammenhängende Werthe durchlaufen, 
zu denen unter andern auch die Werthe jener J’s gehören; wie solches aus 
dem Anblick der Formeln (6.) unmittelbar sich ergiebt. Die stetig zusammen 
hängenden Werthe, welche das Integral (6a.) durchläuft, während $ von a 
nach ß geht, bilden daher zwischen den einzelnen J’s eine stetige Verbindung, 
und enthalten folglich in sich sämmfliche Mittelwerthe der J’s. Mit andern 
Worten: Das vorstehende Integral (Ga.) muss durch eine geeignete Ver 
schiebung des der Bedingung « < i < ß unterworfenen Punctes £ zur Coincidenz 
gebracht werden können mit jedwedem Mittelwerthe der J’s, also z, B.