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Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
(2.) 
mithin 
> 
sin X 
> cos x, ebenfalls für 0 < x < \n. 
COS X 
X 
Setzt man nun f(x) — , so wird f{x) = ~ (cos x — S1 “^V Dieser Aus- 
druck hat aber für 0 <^x <%jr einen negativen Werth [zufolge (2.)], und 
andererseits für i,r < x < .r ebenfalls einen negativen Werth [wie solches 
aus dem Ausdruck selber unmittelbar hervorgeht]. Somit sehen wir, dass 
die Function 
im Intervall x = 0 .... n stetig und monoton ähnelt tuend ist. Hieraus 
folgt sofort: f{0) > fix) > /’(.t), d. i. 
(4.) 1 > ;> o, für o < a? ^ TT; 
und insbesondere auch: f{0) > fix) > /’(|), d. i. 
(4.) 
oder, ein wenig anders geschrieben: 
Zweite Bemerkung. — Bezeichnet A eine beliebig grosse positive Con- 
stante, und n:t. das grösste in A enthaltene Vielfache von x, so kann man 
setzen: 
A 
2 7t 37t 
A 
7t 
Durch diese Formel aber wird [weil sin x für die aufeinander folgenden Inter 
valle 0 .... .t .... 2.t .... 3,t .. . alternirendes Vorzeichen hat, und über 
dies — bei wachsendem x fortwährend abnimmt] das Integral linker Hand 
in {n + 1) Glieder zerlegt, die alternirendes Vorzeichen haben, und von denen 
jedes seinem absoluten Betrage nach Meiner als das vorhergehende ist. Beachtet 
man nun überdies, dass das erste Glied positiv ist, so ergiebt sich sofort, 
dass die Summe der (n -j- 1) Glieder ebenfalls positiv und kleiner als jenes. 
erste Glied sein muss. Somit folgt; 
A 
71 
0 
0 
also mit Rücksicht auf (4.):